三角形ABCにおいて、AB=2, BC=3, ∠ABC=60°とする。 (1) CAの長さを求め、三角形ABCの種類を判定する。 (2) 三角形ABCの外接円Oの半径と面積を求める。 (3) 円O上の点Bを含まない弧AC上に点DをAD=CDとなるようにとる。BDの長さを求める。

はい、承知しました。問題文を読み解き、順を追って解答します。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=2, BC=3, ∠ABC=60°とする。

(1) CAの長さを求め、三角形ABCの種類を判定する。

(2) 三角形ABCの外接円Oの半径と面積を求める。

(3) 円O上の点Bを含まない弧AC上に点DをAD=CDとなるようにとる。BDの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、余弦定理を用いてCAの長さを求める。

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos∠ABC$

$CA^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos60°$

$CA^2 = 4 + 9 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$

$CA = \sqrt{7}$

次に、三角形の種類を判定する。

$BC^2 = 3^2 = 9$

$CA^2 + AB^2 = 7 + 2^2 = 7 + 4 = 11$

$BC^2 < CA^2 + AB^2$

したがって、三角形ABCは鋭角三角形である。

(2)

正弦定理を用いて外接円の半径Rを求める。

$\frac{CA}{\sin∠ABC} = 2R$

$R = \frac{CA}{2\sin∠ABC} = \frac{\sqrt{7}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

三角形ABCの面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin∠ABC$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin60° = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(3)

AD=CDより、弧ADと弧CDの長さは等しい。したがって、BDは∠ABCの二等分線である。∠ABD=∠CBD=30°

$\cos∠ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$

$\cos∠ABC = \frac{2^2 + 3^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4 + 9 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

AD = CD = x とおく。余弦定理より、

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos 30°$

$x^2 = 4 + BD^2 - 2 \cdot 2 \cdot BD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x^2 = BD^2 - 2\sqrt{3}BD + 4$

$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos 30°$

$x^2 = 9 + BD^2 - 2 \cdot 3 \cdot BD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x^2 = BD^2 - 3\sqrt{3}BD + 9$

$BD^2 - 2\sqrt{3}BD + 4 = BD^2 - 3\sqrt{3}BD + 9$

$\sqrt{3}BD = 5$

$BD = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) CA = $\sqrt{7}$。三角形ABCは鋭角三角形である。

(2) 外接円の半径は$\frac{\sqrt{21}}{3}$。面積は$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

(3) BD = $\frac{5\sqrt{3}}{3}$。