対数微分法を用いて、関数 $y = x^x$ (ただし $x > 0$) を微分せよ。

1. 問題の内容

対数微分法を用いて、関数 $y = x^x$ (ただし $x > 0$) を微分せよ。

2. 解き方の手順

(1) 両辺の自然対数をとる:

$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$

(2) 両辺を $x$ で微分する。左辺は $y$ で微分してから、$y$を$x$で微分したもの(つまり$dy/dx$)をかける。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x)$

(3) 右辺を積の微分法で計算する:

$\frac{d}{dx}(x \ln x) = \frac{d}{dx}(x) \ln x + x \frac{d}{dx}(\ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

(4) $\frac{dy}{dx}$について解く:

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1)$

(5) $y = x^x$ を代入する:

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$