領域 $R = \{0 \le x \le 1, 1 \le y \le 2\}$ において、二重積分 $\iint_R x^2 y \, dx dy$ を、$y$ について積分してから $x$ で積分して計算する。

1. 問題の内容

領域 $R = \{0 \le x \le 1, 1 \le y \le 2\}$ において、二重積分 $\iint_R x^2 y \, dx dy$ を、$y$ について積分してから $x$ で積分して計算する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ を定数とみなして、$y$ について積分する。

$\int_1^2 x^2 y \, dy = x^2 \int_1^2 y \, dy = x^2 \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_1^2 = x^2 \left( \frac{1}{2} (2^2) - \frac{1}{2} (1^2) \right) = x^2 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2} x^2$

次に、この結果を $x$ について $0$ から $1$ まで積分する。

$\int_0^1 \frac{3}{2} x^2 \, dx = \frac{3}{2} \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{3}{2} \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^1 = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{3} (1^3) - \frac{1}{3} (0^3) \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$