領域 $D: 0 \le x \le 2, 0 \le y \le x$ において、二重積分 $\iint_D xy \, dy \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D: 0 \le x \le 2, 0 \le y \le x$ において、二重積分 $\iint_D xy \, dy \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、内側の積分を $y$ について行います。$y$ の積分範囲は $0$ から $x$ です。

$$\int_0^x xy \, dy = x \int_0^x y \, dy = x \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_0^x = x \left( \frac{1}{2} x^2 - 0 \right) = \frac{1}{2} x^3$$

次に、外側の積分を $x$ について行います。$x$ の積分範囲は $0$ から $2$ です。

$$\int_0^2 \frac{1}{2} x^3 \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 x^3 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_0^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} (2^4) - 0 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \cdot 16 \right) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$

3. 最終的な答え

$$\iint_D xy \, dy \, dx = 2$$