領域 $D: 0 \le x \le 2, 0 \le y \le x$ において、二重積分 $\iint_D xy \, dy \, dx$ を計算する。

1. 問題の内容

領域 $D: 0 \le x \le 2, 0 \le y \le x$ において、二重積分 $\iint_D xy \, dy \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$y$ についての積分を実行し、次に $x$ についての積分を実行する。

(1) $y$ についての積分

$x$ を定数とみなして、$y$ について $0$ から $x$ まで積分する。

$\int_0^x xy \, dy = x \int_0^x y \, dy = x \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_0^x = x \left( \frac{1}{2} x^2 - 0 \right) = \frac{1}{2} x^3$

(2) $x$ についての積分

次に、得られた結果を $x$ について $0$ から $2$ まで積分する。

$\int_0^2 \frac{1}{2} x^3 \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 x^3 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_0^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} (2^4) - 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 16 = \frac{1}{8} \cdot 16 = 2$

3. 最終的な答え

$\iint_D xy \, dy \, dx = 2$