51から100までの自然数について、以下の問いに答える。 (1) 3と5の少なくとも一方で割り切れる数は何個あるか。 (2) 3で割り切れるが5では割り切れない数は何個あるか。 (3) 3でも5でも割り切れない数は何個あるか。

1. 問題の内容

51から100までの自然数について、以下の問いに答える。

(1) 3と5の少なくとも一方で割り切れる数は何個あるか。

(2) 3で割り切れるが5では割り切れない数は何個あるか。

(3) 3でも5でも割り切れない数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1)

51から100までの自然数全体の集合を$U$とする。

$U$の部分集合で、3の倍数の集合を$A$、5の倍数の集合を$B$とする。

求めるものは、$|A \cup B|$である。

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

$|A|$は51から100までの3の倍数の個数。

51から100までの3の倍数は、51, 54, ..., 99である。

これは、3 * 17, 3 * 18, ..., 3 * 33である。

したがって、$|A| = 33 - 17 + 1 = 17$

$|B|$は51から100までの5の倍数の個数。

51から100までの5の倍数は、55, 60, ..., 100である。

これは、5 * 11, 5 * 12, ..., 5 * 20である。

したがって、$|B| = 20 - 11 + 1 = 10$

$|A \cap B|$は51から100までの15の倍数の個数。

51から100までの15の倍数は、60, 75, 90である。

これは、15 * 4, 15 * 5, 15 * 6である。

したがって、$|A \cap B| = 6 - 4 + 1 = 3$

$|A \cup B| = 17 + 10 - 3 = 24$

(2)

3で割り切れるが5では割り切れない数は、$|A \setminus B| = |A| - |A \cap B|$で求められる。

$|A \setminus B| = 17 - 3 = 14$

(3)

3でも5でも割り切れない数は、$|U| - |A \cup B|$で求められる。

$|U| = 100 - 51 + 1 = 50$

$|U| - |A \cup B| = 50 - 24 = 26$

3. 最終的な答え

(1) 24個

(2) 14個

(3) 26個