直円錐が与えられており、その頂点をO、底面の円の中心をH、底面の円周上の点をA、Bとする。 OA = a, $sin\theta = \frac{1}{3}$ (ここで$\theta = \angle AOH$)。 点Pは母線OB上にあり、PB = $\frac{a}{3}$である。 点Aから直円錐の側面を通って点Pに至る最短経路の長さを求める。

1. 問題の内容

直円錐が与えられており、その頂点をO、底面の円の中心をH、底面の円周上の点をA、Bとする。

OA = a, $sin\theta = \frac{1}{3}$ (ここで$\theta = \angle AOH$)。

点Pは母線OB上にあり、PB = $\frac{a}{3}$である。

点Aから直円錐の側面を通って点Pに至る最短経路の長さを求める。

2. 解き方の手順

直円錐の展開図を考える。展開図は扇形になる。

扇形の半径は母線の長さaであり、扇形の中心角は、底面の円周の長さと扇形の弧の長さが等しいことから求めることができる。

底面の円の半径をrとすると、$sin\theta = \frac{r}{a} = \frac{1}{3}$より、$r = \frac{a}{3}$

底面の円周の長さは、$2\pi r = 2\pi \frac{a}{3} = \frac{2\pi a}{3}$

扇形の中心角を$\alpha$（ラジアン）とすると、扇形の弧の長さは、$a\alpha$

よって、$a\alpha = \frac{2\pi a}{3}$より、$\alpha = \frac{2\pi}{3}$

点Aから点Pへの最短経路は、展開図上で線分APとなる。

$\triangle OAP$において、OA = a、OP = OB - PB = a - $\frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$、$\angle AOP = \frac{2\pi}{3}$

余弦定理より、$AP^2 = OA^2 + OP^2 - 2(OA)(OP)cos(\frac{2\pi}{3})$

$AP^2 = a^2 + (\frac{2a}{3})^2 - 2(a)(\frac{2a}{3})(-\frac{1}{2})$

$AP^2 = a^2 + \frac{4a^2}{9} + \frac{2a^2}{3}$

$AP^2 = a^2 + \frac{4a^2}{9} + \frac{6a^2}{9}$

$AP^2 = \frac{9a^2 + 4a^2 + 6a^2}{9} = \frac{19a^2}{9}$

$AP = \sqrt{\frac{19a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{19}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{a\sqrt{19}}{3}$