領域 D が $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le x^2$ で定義されるとき、重積分 $\iint_D y \, dxdy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 D が $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le x^2$ で定義されるとき、重積分 $\iint_D y \, dxdy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、重積分を累次積分に変換します。積分範囲は $0 \le x \le 1$ と $0 \le y \le x^2$ なので、

$$\iint_D y \, dxdy = \int_0^1 \int_0^{x^2} y \, dy dx$$

となります。

まず内側の積分を計算します。

$$\int_0^{x^2} y \, dy = \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_0^{x^2} = \frac{1}{2} (x^2)^2 - \frac{1}{2} (0)^2 = \frac{1}{2} x^4$$

次に、外側の積分を計算します。

$$\int_0^1 \frac{1}{2} x^4 dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x^4 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{5} x^5 \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} (1)^5 - \frac{1}{5} (0)^5 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{10}$