領域 $D$ が $x \le y \le 3x$ かつ $0 \le x \le 2$ で定義されるとき、重積分 $\iint_D (y-x)^3 dxdy$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D$ が $x \le y \le 3x$ かつ $0 \le x \le 2$ で定義されるとき、重積分 $\iint_D (y-x)^3 dxdy$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、重積分を累次積分に書き換えます。積分範囲は $0 \le x \le 2$、 $x \le y \le 3x$ であるので、積分は次のようになります。

$$\iint_D (y-x)^3 dxdy = \int_0^2 \left( \int_x^{3x} (y-x)^3 dy \right) dx$$

次に、内側の積分を実行します。

$$\int_x^{3x} (y-x)^3 dy = \left[ \frac{(y-x)^4}{4} \right]_x^{3x} = \frac{(3x-x)^4}{4} - \frac{(x-x)^4}{4} = \frac{(2x)^4}{4} - 0 = \frac{16x^4}{4} = 4x^4$$

これを外側の積分に代入します。

$$\int_0^2 4x^4 dx = 4 \int_0^2 x^4 dx = 4 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = 4 \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 4 \cdot \frac{32}{5} = \frac{128}{5}$$

3. 最終的な答え

$\frac{128}{5}$