領域 $D$ が $x \le y \le 3x$, $0 \le x \le 2$ で定義されているとき、重積分 $\iint_D (y-x)^3 \, dxdy$ を計算する。

1. 問題の内容

領域 $D$ が $x \le y \le 3x$, $0 \le x \le 2$ で定義されているとき、重積分 $\iint_D (y-x)^3 \, dxdy$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲を決定する。$0 \le x \le 2$ であり、$x \le y \le 3x$ であるから、重積分を以下のように書き換える。

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\iint_D (y-x)^3 \, dxdy = \int_{0}^{2} \int_{x}^{3x} (y-x)^3 \, dy dx

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次に、内側の積分を計算する。

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\int_{x}^{3x} (y-x)^3 \, dy = \left[ \frac{(y-x)^4}{4} \right]_{x}^{3x} = \frac{(3x-x)^4}{4} - \frac{(x-x)^4}{4} = \frac{(2x)^4}{4} - 0 = \frac{16x^4}{4} = 4x^4

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したがって、重積分は次のようになる。

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\int_{0}^{2} 4x^4 \, dx = 4 \int_{0}^{2} x^4 \, dx = 4 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = 4 \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 4 \left( \frac{32}{5} \right) = \frac{128}{5}

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3. 最終的な答え

$\frac{128}{5}$