領域Dが $x \le y \le 3x$, $0 \le x \le 2$ で定義されているとき、二重積分 $\iint_D (y-x)^3 dxdy$ を計算する。

解析学二重積分積分領域変数変換

2025/4/30

1. 問題の内容

領域Dが

x \le y \le 3x

,

0 \le x \le 2

で定義されているとき、二重積分

\iint_D (y-x)^3 dxdy

を計算する。

2. 解き方の手順

まず、

y

について積分し、次に

x

について積分する。

まず、

y

についての積分を実行する。

\int_{x}^{3x} (y-x)^3 dy = \left[ \frac{(y-x)^4}{4} \right]_{x}^{3x} = \frac{(3x-x)^4}{4} - \frac{(x-x)^4}{4} = \frac{(2x)^4}{4} - 0 = \frac{16x^4}{4} = 4x^4

次に、

x

についての積分を実行する。

\int_{0}^{2} 4x^4 dx = \left[ \frac{4x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{4(2^5)}{5} - \frac{4(0^5)}{5} = \frac{4(32)}{5} = \frac{128}{5}

3. 最終的な答え

\frac{128}{5}

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