領域 $D$ が $x^2 \le y \le x$ で与えられているとき、二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D$ が $x^2 \le y \le x$ で与えられているとき、二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず積分領域 $D$ を考えます。不等式 $x^2 \le y \le x$ より、$y = x^2$ と $y = x$ のグラフで囲まれた領域になります。これらの交点を求めると、

$x^2 = x$ より、$x(x-1) = 0$ となるので、$x = 0, 1$。したがって、積分範囲は $0 \le x \le 1$ であり、$x^2 \le y \le x$ です。

二重積分を逐次積分に書き換えます。

$$\iint_D xy \, dxdy = \int_0^1 \int_{x^2}^x xy \, dy dx$$

まず $y$ に関する積分を計算します。

$$\int_{x^2}^x xy \, dy = x \int_{x^2}^x y \, dy = x \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_{x^2}^x = x \left( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} x^4 \right) = \frac{1}{2} x^3 - \frac{1}{2} x^5$$

次に、$x$ に関する積分を計算します。

$$\int_0^1 \left( \frac{1}{2} x^3 - \frac{1}{2} x^5 \right) dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (x^3 - x^5) dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4} x^4 - \frac{1}{6} x^6 \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3 - 2}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{24}$