三角形ABCにおいて、辺a=3, 辺b=${\sqrt{3}}$, 角C=150°であるとき、辺c（すなわち辺AB）の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺a=3, 辺b=${\sqrt{3}}$, 角C=150°であるとき、辺c（すなわち辺AB）の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて辺cの長さを計算する。余弦定理は以下の通り。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{C}$

問題で与えられている値を代入する。

$c^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \times 3 \times \sqrt{3} \times \cos{150^\circ}$

$\cos{150^\circ}$を計算する。

$\cos{150^\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

これを代入する。

$c^2 = 9 + 3 - 6\sqrt{3} \times (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$c^2 = 12 + 6\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 12 + 6 \times \frac{3}{2}$

$c^2 = 12 + 9$

$c^2 = 21$

$c$を求める。$c$は辺の長さなので正である。

$c = \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{21}$