複素数平面上の異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ が条件(A),(B),(C)を満たす時、以下の問いに答える問題です。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して原点 $0$ と反対側にある (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形 (1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = p z_1 + q z_2$, $\alpha z_2 = r z_1 + s z_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。 (2) $z_3 = a z_1 + b z_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。

1. 問題の内容

複素数平面上の異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ が条件(A),(B),(C)を満たす時、以下の問いに答える問題です。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して原点 $0$ と反対側にある

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形

(1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = p z_1 + q z_2$, $\alpha z_2 = r z_1 + s z_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。

(2) $z_3 = a z_1 + b z_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず条件(A)より、

$\arg \frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3} \pi$

したがって、ある実数 $k > 0$ を用いて、

$z_1 = k z_2 (\cos \frac{2}{3} \pi + i \sin \frac{2}{3} \pi) = k z_2 (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$

と表せる。

ここで、$\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ とおく。

$\alpha z_1 = p z_1 + q z_2$ に代入すると、

$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) k z_2 (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = p k z_2 (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + q z_2$

$k z_2 (-1) = z_2 \{ (-\frac{1}{2}pk + q) + p k \frac{\sqrt{3}}{2} i \}$

よって、 $-k = -\frac{1}{2}pk + q$ かつ $0 = pk \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、 $p = 0$ かつ $q = -k$

同様に、$\alpha z_2 = r z_1 + s z_2$ に代入すると、

$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) z_2 = r k z_2 (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + s z_2$

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = rk (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + s$

したがって、$-\frac{1}{2}rk + s = \frac{1}{2}$ かつ $rk \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$rk = 1$ より、 $r = \frac{1}{k}$ かつ $s = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}rk = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

ここで、$k = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ であるから、$p = 0$, $q = -\frac{|z_1|}{|z_2|}$, $r = \frac{|z_2|}{|z_1|}$, $s = 1$

3. 最終的な答え

(1) $p = 0, q = -\frac{|z_1|}{|z_2|}, r = \frac{|z_2|}{|z_1|}, s = 1$

(2) 解答なし