全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、$n(U) = 60$, $n(A) = 30$, $n(B) = 25$である。 このとき、$n(A \cap B)$, $n(A \cup B)$, $n(A \cap \overline{B})$のとりうる値の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、$n(U) = 60$, $n(A) = 30$, $n(B) = 25$である。

このとき、$n(A \cap B)$, $n(A \cup B)$, $n(A \cap \overline{B})$のとりうる値の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $n(A \cap B)$について

$A \cap B \subseteq A$ より、$n(A \cap B) \leq n(A)$。また、$A \cap B \subseteq B$ より、$n(A \cap B) \leq n(B)$。

よって、$n(A \cap B) \leq \min\{n(A), n(B)\} = \min\{30, 25\} = 25$。

$n(A \cap B)$の最大値は25。

また、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$である。

$A \cup B \subseteq U$ より、$n(A \cup B) \leq n(U)$。

よって、$n(A) + n(B) - n(A \cap B) \leq n(U)$。

$30 + 25 - n(A \cap B) \leq 60$

$55 - n(A \cap B) \leq 60$

$-n(A \cap B) \leq 5$

$n(A \cap B) \geq -5$

また、$n(A \cap B) \geq 0$である。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) \leq n(U) = 60$

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 30+25-n(A \cup B) = 55 - n(A \cup B)$

$n(A \cup B)$が最大の時、$n(A \cap B)$が最小になる。

$n(A \cup B) \le n(U) = 60$なので、$n(A \cup B)$の最大値は$60$。

$n(A \cap B)$の最小値は、$55-60 = -5 < 0$となるが、これはありえない。

$n(A \cap B) \ge 0$ より、$A \cap B = \emptyset$のとき、$n(A \cap B)=0$となり、これは最小値として可能である。

$n(A)+n(B) = 55 < 60$であり、$A \cap B = \emptyset$の場合、$n(A \cup B)=55 \le n(U)=60$となり、$U$に収まる。

(2) $n(A \cup B)$について

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B)$が最大になるのは、$n(A \cap B)$が最小の時である。

$n(A \cap B)$の最小値は0であるから、$n(A \cup B)$の最大値は、$n(A) + n(B) - 0 = 30+25 = 55$

$n(A \cup B) \le n(U) = 60$より、55は最大値として可能。

$n(A \cup B)$が最小になるのは、$n(A \cap B)$が最大の時である。

$n(A \cap B)$の最大値は25であるから、$n(A \cup B)$の最小値は、$n(A) + n(B) - 25 = 30+25-25 = 30$

$n(A) < n(B)$の場合、$n(A \cap B) = n(A) = 30$となり、$n(A \cup B) = n(B) = 25$とはならないので、$n(B)=25$の全ての要素が$A$に含まれる。したがって、$n(A \cap B)$の最大値は、$n(B)=25$

$n(A \cup B)$の最小値は、$n(A)+n(B)-n(A \cap B) = n(A)+n(B)-n(B) = n(A)=30$

$n(A) \subseteq n(U)$なので、$30 \le n(U)=60$

(3) $n(A \cap \overline{B})$について

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

$n(A \cap \overline{B})$が最大になるのは、$n(A \cap B)$が最小の時である。

$n(A \cap B)$の最小値は0であるから、$n(A \cap \overline{B})$の最大値は、$n(A) - 0 = 30 - 0 = 30$。

$n(A \cap \overline{B})$が最小になるのは、$n(A \cap B)$が最大の時である。

$n(A \cap B)$の最大値は25であるから、$n(A \cap \overline{B})$の最小値は、$n(A) - 25 = 30 - 25 = 5$。

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B)$の最大値: 25, 最小値: 0

(2) $n(A \cup B)$の最大値: 55, 最小値: 30

(3) $n(A \cap \overline{B})$の最大値: 30, 最小値: 5