"happiness"の9文字を並べ替える問題です。 (ア) 同じ文字が常に隣り合う並べ方の数を求めます。 (イ) 'p'は隣り合うが、's'は隣り合わない並べ方の数を求めます。

1. 問題の内容

"happiness"の9文字を並べ替える問題です。

(ア) 同じ文字が常に隣り合う並べ方の数を求めます。

(イ) 'p'は隣り合うが、's'は隣り合わない並べ方の数を求めます。

2. 解き方の手順

(ア) 同じ文字が常に隣り合う並べ方

'p'が2つ、's'が2つあります。これらをそれぞれ一つの塊とみなします。

したがって、並べるべきものは、h, a, i, n, e, ss, pp の7つです。

これら7つを並べる順列の総数は $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ 通りです。

(イ) 'p'は隣り合うが、's'は隣り合わない並べ方

まず、'p'が隣り合うように並べることを考えます。'pp'を一つの塊とみなします。

'pp'以外の文字はh, a, i, n, eの5つです。これら5つの文字と'pp'を並べます。

's'以外の6つの文字（h, a, i, n, e, pp）の並べ方は、$6! = 720$ 通りです。

次に、's'を並べます。's'は隣り合わないように並べなければなりません。

6つの文字を並べたとき、その間と両端に's'を入れることができる場所が7箇所あります。

この7箇所から2箇所を選んで's'を並べます。この組み合わせの数は ${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通りです。

したがって、'p'は隣り合うが、's'は隣り合わない並べ方の数は $6! \times {}_7C_2 = 720 \times 21 = 15120$ 通りです。

3. 最終的な答え

(ア) 5040

(イ) 15120