happinessという9文字の文字列について、以下の2つの場合の数を求めます。 (ア) 同じ文字が常に隣り合う並べ方の場合の数 (イ) 'p'は隣り合うが、's'は隣り合わない並べ方の場合の数

1. 問題の内容

happinessという9文字の文字列について、以下の2つの場合の数を求めます。

(ア) 同じ文字が常に隣り合う並べ方の場合の数

(イ) 'p'は隣り合うが、's'は隣り合わない並べ方の場合の数

2. 解き方の手順

(ア) 同じ文字が常に隣り合う並べ方

happinessの文字の種類は、h, a, p, i, n, e, s の7種類です。

それぞれの個数は、hが1個、aが1個、pが2個、iが1個、nが2個、eが1個、sが1個です。

'p'と'n'はそれぞれ隣り合う必要があるので、それぞれ1つの塊とみなします。

すると、並べるものは、h, a, pp, i, nn, e, s の7個となります。

したがって、並べ方は、$7! = 5040$通りです。

(イ) 'p'は隣り合うが、's'は隣り合わない並べ方

まず、ppを1つの文字とみなして並べます。pp以外の7文字（h, a, i, n, n, e）とppを並べる順列を考えます。'n'が2つあるので、全部で8個の並べ方は $8! / 2! = 20160$ 通りです。

次に、's'が隣り合わないように配置する方法を考えます。8個の文字を並べたとき、その間と両端の9箇所に's'を配置すれば、's'が隣り合うことはありません。しかし、's'は2つあるので、9箇所から2箇所選ぶ組み合わせを考えます。これは ${}_9 C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 通りです。

したがって、'p'は隣り合い、's'は隣り合わない並べ方は、$20160 \times 36$ 通りです。

3. 最終的な答え

ア: 5040通り

イ: 20160 * 36 = 725760通り

ア：5040

イ：725760