happinessという9文字の文字列について、以下の2つの場合の数を求めます。 (ア) 同じ文字が常に隣り合う並べ方の場合の数 (イ) 'p'は隣り合うが、's'は隣り合わない並べ方の場合の数

離散数学順列組み合わせ文字列場合の数
2025/7/3

1. 問題の内容

happinessという9文字の文字列について、以下の2つの場合の数を求めます。
(ア) 同じ文字が常に隣り合う並べ方の場合の数
(イ) 'p'は隣り合うが、's'は隣り合わない並べ方の場合の数

2. 解き方の手順

(ア) 同じ文字が常に隣り合う並べ方
happinessの文字の種類は、h, a, p, i, n, e, s の7種類です。
それぞれの個数は、hが1個、aが1個、pが2個、iが1個、nが2個、eが1個、sが1個です。
'p'と'n'はそれぞれ隣り合う必要があるので、それぞれ1つの塊とみなします。
すると、並べるものは、h, a, pp, i, nn, e, s の7個となります。
したがって、並べ方は、7!=50407! = 5040通りです。
(イ) 'p'は隣り合うが、's'は隣り合わない並べ方
まず、ppを1つの文字とみなして並べます。pp以外の7文字(h, a, i, n, n, e)とppを並べる順列を考えます。'n'が2つあるので、全部で8個の並べ方は 8!/2!=201608! / 2! = 20160 通りです。
次に、's'が隣り合わないように配置する方法を考えます。8個の文字を並べたとき、その間と両端の9箇所に's'を配置すれば、's'が隣り合うことはありません。しかし、's'は2つあるので、9箇所から2箇所選ぶ組み合わせを考えます。これは 9C2=9×82×1=36{}_9 C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 通りです。
したがって、'p'は隣り合い、's'は隣り合わない並べ方は、20160×3620160 \times 36 通りです。

3. 最終的な答え

ア: 5040通り
イ: 20160 * 36 = 725760通り
ア:5040
イ:725760

「離散数学」の関連問題

順列 ${}_8P_4$ から組合せ ${}_8C_4$ を引いた値を計算する問題です。つまり、${}_8P_4 - {}_8C_4$ を求めることになります。

順列組合せ組み合わせ
2025/7/10

先生2人と生徒3人が1列に並ぶ場合の並び方について、以下の4つの場合について場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方 (2) 生徒3人が連続して並ぶ並び方 (3) 両端が生徒である並び方 (4...

順列組み合わせ場合の数数え上げ
2025/7/10

大人3人と子供3人が輪になって並ぶ場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方を求めます。 (2) 大人と子供が交互に並ぶ並び方を求めます。

順列組み合わせ円順列
2025/7/9

無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、以下の2つの命題が正しいか否かを判断し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げる。 (1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等...

集合論無限集合対等全単射証明反例
2025/7/9

男子4人と女子4人が手をつないで円を作るとき、次の問いに答えます。 (1) 円の作り方は全部で何通りあるか。 (2) 男子と女子が交互になる円の作り方は何通りあるか。 (3) 男子の太郎君と次郎君が向...

円順列順列組み合わせ場合の数
2025/7/9

図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数、Qを通る最短経路の総数、PまたはQを通る最短経路の総数をそれぞれ求める問題です。

組み合わせ最短経路順列
2025/7/9

「KAWAGOE」の7文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。ただし、Aが2つあるので、同じものを含む順列の考え方を使います。

順列組み合わせ場合の数重複順列
2025/7/9

正六角形を6個の正三角形に分割し、各三角形を異なる色で塗り分ける問題です。ただし、回転して一致する塗り方は同じものとみなします。 (1) 6色すべてを使って塗り分ける方法の数を求めます。 (2) 6色...

組み合わせ場合の数順列円順列正多角形
2025/7/9

(1) 集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ の部分集合を、与えられた集合 $P = \{1, 2, 3, 5\}$, $Q = \{1, 2, 4, 6\}$, $R = \...

集合部分集合補集合共通部分和集合
2025/7/9

与えられた問題は、組み合わせ (combination) に関する計算問題と、正六角形に関する問題です。具体的には、以下の問題があります。 - 問題54: 組み合わせの計算 (6問) - 問題55: ...

組み合わせnCr正六角形組み合わせの計算
2025/7/9