"happiness"という9文字の単語について、以下の2つの場合の並べ方の数を求めます。 * 同じアルファベットが常に隣り合う並べ方 * pは隣り合うが、sは隣り合わない並べ方

1. 問題の内容

"happiness"という9文字の単語について、以下の2つの場合の並べ方の数を求めます。

* 同じアルファベットが常に隣り合う並べ方

* pは隣り合うが、sは隣り合わない並べ方

2. 解き方の手順

(ア) 同じアルファベットが常に隣り合う並べ方

"happiness"に含まれるアルファベットは以下の通りです。

- h: 1個

- a: 1個

- p: 2個

- i: 1個

- n: 1個

- e: 1個

- s: 2個

同じ文字同士をそれぞれ1つのグループとして考えます。すると、全体として7つのグループを並べることになります。従って、並べ方の数は7!通りです。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(イ) pは隣り合うが、sは隣り合わない並べ方

まず、pを1つのグループ(pp)として考えます。

次に、pp以外の7文字（h, a, i, n, e, s, s）を並べることを考えます。

7文字を並べる方法は、sが2つあるので $\frac{7!}{2!}$ 通りです。

$\frac{7!}{2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 2520$

次に、ppを7文字の並びの中に入れることを考えます。7文字の並びの前、間、後の8箇所にppを入れることができます。したがって、ppの挿入場所は8通りです。

したがって、ppが隣り合うような並べ方は $2520 \times 8 = 20160$ 通りです。

次に、ppが隣り合う場合に、sが隣り合わない場合の数を考えます。

sが隣り合わないように並べるには、まずh, a, i, n, eの5文字を並べます。これは5! = 120通り。

次に、5文字の並びの両端と間（計6箇所）から2箇所選んでsを配置します。これは ${}_6 P_2 = 6 \times 5 = 30$通り。

さらに、ppのグループを、これらの7文字の並びの前、間、後の8箇所に入れることができるので、8通り。

したがって、sが隣り合わず、ppが隣り合う並べ方の数は $120 \times 30 \times 8 = 28800$通りとなります。

7文字(h,a,i,n,e,s,s)を並べたとき、sが隣り合わない並べ方の数は、5文字(h,a,i,n,e)を並べ、その隙間6箇所にsを並べることで計算できます。

h,a,i,n,eの並べ方は$5! = 120$通り。

6箇所から2箇所を選ぶ組み合わせは、${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

したがって、sが隣り合わない7文字の並べ方は$120 \times 15 = 1800$通り。

ppを挿入できる場所は8箇所なので、$1800 \times 8 = 14400$通り。

3. 最終的な答え

ア: 5040

イ: 14400