$xy$平面上に2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 4$ と $C_2: x^2 - 6rx + y^2 - 8ry + 16r^2 = 0$ がある。 (1) 円 $C_2$ の中心の座標と半径を求める。 (2) 円 $C_1$ と $C_2$ が接するときの $r$ の値を2つ求める。 (3) 2つの円の半径が等しいときの $r$ の値を求め、そのときの2つの円の交点を通る直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面上に2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 4$ と $C_2: x^2 - 6rx + y^2 - 8ry + 16r^2 = 0$ がある。

(1) 円 $C_2$ の中心の座標と半径を求める。

(2) 円 $C_1$ と $C_2$ が接するときの $r$ の値を2つ求める。

(3) 2つの円の半径が等しいときの $r$ の値を求め、そのときの2つの円の交点を通る直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C_2$ の方程式を平方完成する。

$x^2 - 6rx + y^2 - 8ry + 16r^2 = 0$

$(x^2 - 6rx + 9r^2) + (y^2 - 8ry + 16r^2) + 16r^2 - 9r^2 - 16r^2 = 0$

$(x - 3r)^2 + (y - 4r)^2 = 9r^2$

よって、円 $C_2$ の中心の座標は $(3r, 4r)$ で、半径は $3r$ である。

(2) 円 $C_1$ の中心は $(0, 0)$ で、半径は $2$ である。

円 $C_1$ と $C_2$ が接するとき、2つの円の中心間の距離は、2つの円の半径の和または差に等しい。

中心間の距離は $\sqrt{(3r - 0)^2 + (4r - 0)^2} = \sqrt{9r^2 + 16r^2} = \sqrt{25r^2} = 5r$ である。

半径の和の場合、$5r = 2 + 3r$ より、$2r = 2$ なので、$r = 1$。

半径の差の場合、$5r = |2 - 3r|$

$5r = 2 - 3r$ より、$8r = 2$ なので、$r = \frac{1}{4}$。

$5r = 3r - 2$ より、$2r = -2$ なので、$r = -1$。しかし、$r$は正なので、これは不適。

したがって、$r = 1$ と $r = \frac{1}{4}$ である。$\frac{1}{4} < 1$ より、$r = \frac{1}{4}, 1$。

(3) 2つの円の半径が等しいとき、$3r = 2$ より、$r = \frac{2}{3}$。

このとき、$C_1: x^2 + y^2 = 4$、$C_2: (x - 2)^2 + (y - \frac{8}{3})^2 = 4$。

2つの円の交点を通る直線の方程式は、$x^2 + y^2 - 4 - ((x - 2)^2 + (y - \frac{8}{3})^2 - 4) = 0$

$x^2 + y^2 - 4 - (x^2 - 4x + 4 + y^2 - \frac{16}{3}y + \frac{64}{9} - 4) = 0$

$4x + \frac{16}{3}y - 4 - \frac{64}{9} = 0$

$36x + 48y - 36 - 64 = 0$

$36x + 48y - 100 = 0$

$48y = -36x + 100$

$y = -\frac{36}{48}x + \frac{100}{48}$

$y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $C_2$ の中心の座標は $(3r, 4r)$、半径は $3r$ である。

(2) $r = \frac{1}{4}, 1$

(3) $r = \frac{2}{3}$、直線の方程式は $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{12}$