$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 - 3n + an + b}) = 2$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定める問題です。ただし、$n$ は正の整数です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 - 3n + an + b}) = 2$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定める問題です。ただし、$n$ は正の整数です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{4n^2 - 3n + an + b}$ の中の $n$ の係数を整理します。

$\sqrt{4n^2 + (a-3)n + b}$ となります。

ここで、$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{4n^2 + (a-3)n + b} \approx \sqrt{4n^2} = 2n$ となることを利用します。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + (a-3)n + b}) = 2$ となるためには、$n$ の項が消える必要があります。

そこで、$a-3 = 0$ となることが必要です。

$a = 3$ となります。

このとき、$\sqrt{4n^2 + b} \approx 2n + c$ となるような $c$ を考えます。

$(\sqrt{4n^2 + b})^2 = (2n + c)^2$ となるように両辺を2乗してみると、$4n^2 + b = 4n^2 + 4nc + c^2$ となります。

$4nc$ の項が消える必要があるので、$\sqrt{4n^2 + b} - 2n$ が一定の値に収束するように変形します。

$\sqrt{4n^2 + b} - 2n = \frac{(\sqrt{4n^2 + b} - 2n)(\sqrt{4n^2 + b} + 2n)}{\sqrt{4n^2 + b} + 2n} = \frac{4n^2 + b - 4n^2}{\sqrt{4n^2 + b} + 2n} = \frac{b}{\sqrt{4n^2 + b} + 2n}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{b}{\sqrt{4n^2 + b} + 2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{b/n}{\sqrt{4 + b/n^2} + 2} = \frac{0}{\sqrt{4} + 2} = 0$

ここで、$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + b} - 2n + 2n) = 2$ を利用することを考えると、

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + b} - 2n) = 0$ であるため、 $\lim_{n \to \infty} 2n = 2$ となることはありえません。

$\sqrt{4n^2 - 3n + an + b}$ を $\sqrt{4n^2}$ で近似して考えると、これは $2n$ になります。

$\lim_{n \to \infty} 2n = 2$ となることはありえないため、問題に誤りがある可能性があります。

しかし、解答を強いて求めるならば、

$\sqrt{4n^2 + (a-3)n + b} = 2n + c$ の形に近似できると仮定します。

$(\sqrt{4n^2 + (a-3)n + b})^2 = (2n+c)^2$

$4n^2 + (a-3)n + b = 4n^2 + 4nc + c^2$

$(a-3)n + b = 4nc + c^2$

両辺の $n$ の係数と定数項を比較すると、

$a-3 = 4c$

$b = c^2$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{4n^2 + (a-3)n + b} - (2n+c) = 0$ を利用して、

$\lim_{n \to \infty} (2n+c) = 2$ であればよいので、$\lim_{n \to \infty} 2n = 2$ かつ $c=0$ となり矛盾します。

別の考え方として、 $\sqrt{4n^2 -3n + an + b} = 2n+C + o(1)$ となることを目指します。ここで、$o(1)$ は $n \to \infty$ で0に収束する関数です。すると、

$(\sqrt{4n^2 -3n + an + b})^2 = (2n+C + o(1))^2$

$4n^2 + (a-3)n + b = 4n^2 + 4Cn + C^2 + o(n)$

よって、

$a-3 = 4C$

$b = C^2$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{4n^2 -3n + an + b} = \lim_{n \to \infty} 2n+C = 2$

となり、これは発散してしまうので矛盾します。

3. 最終的な答え

問題文の設定では、条件を満たす $a, b$ は存在しない。

しかし、問題文に誤りがあり、$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 - 3n + an + b} - 2n) = 2$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定める問題であると仮定する。

この場合、$a=11$, $b=4$ となる。

以下計算

$\sqrt{4n^2 + 8n + 4} - 2n = \sqrt{4(n+1)^2} - 2n = 2(n+1) - 2n = 2$

したがって、$a=11, b=4$