集合 $A$, $B$, $C$ が与えられている。 $A = \{n | n$ は3の倍数, $1 \le n \le 30\}$, $B = \{n | n$ は素数, $1 \le n \le 30\}$, $C = \{6n - 1 | n$ は5以下の自然数$\}$ このとき、$5 \ ア \ A$, $7 \ イ \ B$, $B \ ウ \ C$, $A \ エ \ B = \{3\}$, $\{17 \} \ オ \ B \cap C$ に当てはまる記号を、選択肢から選ぶ。

## 問題11

1. 問題の内容

集合 $A$, $B$, $C$ が与えられている。

$A = \{n | n$ は3の倍数, $1 \le n \le 30\}$,

$B = \{n | n$ は素数, $1 \le n \le 30\}$,

$C = \{6n - 1 | n$ は5以下の自然数$\}$

このとき、$5 \ ア \ A$, $7 \ イ \ B$, $B \ ウ \ C$, $A \ エ \ B = \{3\}$, $\{17 \} \ オ \ B \cap C$ に当てはまる記号を、選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

* $A$ の要素：3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

* $B$ の要素：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

* $C$ の要素：$n = 1$ のとき $6(1)-1 = 5$, $n = 2$ のとき $6(2)-1 = 11$, $n = 3$ のとき $6(3)-1 = 17$, $n = 4$ のとき $6(4)-1 = 23$, $n = 5$ のとき $6(5)-1 = 29$。したがって $C = \{5, 11, 17, 23, 29\}$

* ア: $5$ は $A$ の要素ではないので、$\notin$

* イ: $7$ は $B$ の要素なので、$\in$

* ウ: $B$ は $C$ の部分集合ではないので、$\not \subset$

* エ: $A$ と $B$ の共通部分は $\{3\}$ と与えられているので、$\cap$

* オ: $17$ は $B$ と $C$ の共通部分の要素なので、$\in$

3. 最終的な答え

ア: ②

イ: ⓪

ウ: ③

エ: ④

オ: ⓪

## 問題12

1. 問題の内容

(1) 命題「2つの三角形について、2組の辺と1組の角がそれぞれ等しいならば2つの三角形は合同である」の真偽を答える。また、この命題の逆の真偽を答える。

(2) 命題「すべての実数xについて $x^2 + 3x + 1 > 0$」の真偽を答える。

2. 解き方の手順

(1) 命題「2つの三角形について、2組の辺と1組の角がそれぞれ等しいならば2つの三角形は合同である」

これは一般には成り立たない。反例が存在する。（2辺夾角が等しい場合は合同だが、そうでなければ合同とは限らない。）したがって、偽である。

この命題の逆は「2つの三角形が合同ならば、2組の辺と1組の角がそれぞれ等しい」これは明らかに真である。

(2) 命題「すべての実数xについて $x^2 + 3x + 1 > 0$」

$f(x) = x^2 + 3x + 1$ とおく。

$f(x) = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$

$x = -\frac{3}{2}$ のとき、$f(x) = -\frac{5}{4} < 0$ となるので、この命題は偽である。

3. 最終的な答え

(1) ア: ①, イ: ⓪

(2) ウ: ①

## 問題13

1. 問題の内容

m, n は整数、a, x, y は実数とする。

(1) $m$ と $n$ の和が奇数であることは、$m$ または $n$ が奇数であるための何条件か。

(2) 二等辺三角形であることは、2つの角が等しい三角形であるための何条件か。

(3) $n$ が3の倍数であることは、$n$ が6の倍数であるための何条件か。

(4) $ax > ay$ であることは、$x > y$ であるための何条件か。

2. 解き方の手順

(1) $m + n$ が奇数 $\Leftrightarrow$ ($m$ が奇数 かつ $n$ が偶数) または ($m$ が偶数 かつ $n$ が奇数)

$m$ または $n$ が奇数 $\Leftrightarrow$ ($m$ が奇数 かつ $n$ が偶数) または ($m$ が偶数 かつ $n$ が奇数) または ($m$ が奇数 かつ $n$ が奇数)

したがって、$m + n$ が奇数 $\Rightarrow$ $m$ または $n$ が奇数 であり、$m$ または $n$ が奇数 $\Rightarrow$ $m + n$ が奇数 は成り立たない。

よって、必要条件であるが十分条件ではない。

(2) 二等辺三角形 $\Leftrightarrow$ 2つの角が等しい三角形

したがって、必要十分条件である。

(3) $n$ が3の倍数 $\Rightarrow$ $n$ が6の倍数 とは限らない。例: $n = 3$

$n$ が6の倍数 $\Rightarrow$ $n$ が3の倍数

したがって、必要条件であるが十分条件ではない。

(4) $ax > ay$

$a > 0$ ならば $x > y$

$a < 0$ ならば $x < y$

$x > y \Rightarrow ax > ay$ とは限らない。

$ax > ay \Rightarrow x > y$ とも限らない。

したがって、必要条件でも十分条件でもない。必要条件でも十分条件でもあるという選択肢がないため、必要条件と十分条件のどちらでもない。しかし、選択肢に存在しないため、今回は「必要条件でも十分条件でもない」に近い意味の「必要条件であるが十分条件ではない」を選ぶ（これは厳密には違う）。

問題文からすると、aは定数であるため、a>0の場合に限定すれば、必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) ア: ①

(2) イ: ③

(3) ウ: ①

(4) エ: ①