6つの文字 ABBCCC について、 (1) 異なる並べ方は何通りあるか。 (2) 少なくとも2つの C が隣り合うような並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

6つの文字 ABBCCC について、

(1) 異なる並べ方は何通りあるか。

(2) 少なくとも2つの C が隣り合うような並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 異なる並べ方の総数を求める。

6つの文字のうち、A が 1 つ、B が 2 つ、C が 3 つある。したがって、並べ方の総数は、同じものを含む順列の公式を用いて計算できる。

全体の並べ方は 6! 通りだが、同じ文字の並べ替えは区別できないので、B の並べ替え (2! 通り) と C の並べ替え (3! 通り) で割る必要がある。

したがって、異なる並べ方の総数は

$\frac{6!}{1!2!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{12} = 60$ 通り

(2) 少なくとも2つの C が隣り合うような並べ方を求める。

まず、すべての並べ方から「どの C も隣り合わない」並べ方を引くことで、少なくとも 2 つの C が隣り合う並べ方を求める。

すべての並べ方は(1)より、60通りである。

「どの C も隣り合わない」並べ方を考える。

A, B, B を先に並べる。これは $\frac{3!}{2!} = 3$ 通りである。

例えば、B A B という並びになったとする。

このとき、_B_A_B_ のように、下線の位置に C を 3 つ入れる。

C が隣り合わないためには、3 つの C はすべて異なる場所に入れなければならない。場所は4箇所あるので、４箇所から3箇所選んでCを配置すれば良い。

この選び方は $4C3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$ 通り。

したがって、C が隣り合わないような並べ方は $3 \times 4 = 12$ 通り。

したがって、少なくとも2つの C が隣り合う並べ方は、すべての並べ方から C が隣り合わない並べ方を引いて、

$60 - 12 = 48$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 48通り