## 問題5

## 問題5

###

1. 問題の内容

与えられた行列 A, B, C の行列式を、第1行についての余因子展開を用いて求める問題です。

行列 A, B, C はそれぞれ以下のように与えられています。

$A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ -2 & 0 & 1 & 3 \\ 6 & 2 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

###

2. 解き方の手順

行列式を求めるには、まず第1行の要素とその余因子を求めます。余因子は、その要素を取り除いた行列の行列式に符号をつけたものです。

具体的な計算は次の通りです。

(1) 行列 A の行列式

$\det(A) = 5 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 4 \cdot C_{14}$

ここで、$C_{ij}$ は (i, j) 成分の余因子を表します。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{bmatrix} = 1 \cdot (2 - (-3)) - 2 \cdot (0 - 6) + 5 \cdot (0 - 2) = 5 + 12 - 10 = 7$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \det \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 6 & 2 & -1 \end{bmatrix} = -1 \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot 2 \cdot 6 + 2 \cdot (-2) \cdot 2 - 2 \cdot 0 \cdot 6 - 0 \cdot 2 \cdot (-2) - 1 \cdot (-2) \cdot (-1)) = -1 (0 + 0 + 8 - (-12) - (-8) - (-2)) = -1 (-12 + 4) = -(0+12-4-2) = -6$

$\det(A) = 5 \cdot 7 + 4 \cdot (-6) = 35 - 24 = 11$

(2) 行列 B の行列式

$\det(B) = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14}$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \det \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot (3 \cdot 0 - 3 \cdot 0)) - 0 = - 1 \cdot (1 \cdot (0 - 3) + 0 = (-1)*(0-3) = (-1) * (1 * 0 - 1 * 0) = (-1) = -1 (-3) (-1)^{3+1} [1(0-0)- 2(0-0)] (-1)det( (0 1) (0 3)) (-1)* (0 - 0*1) = -3$

-1 * det ((0 1 2), (0 3 3), (1 0 0)) = -1 * [1 * (3*2 - 3*1) - (2(0 -3)) + 0 -0]

= -1 [ 1*(-3) + 1*(-3) *2]

$\det B =1*1 = -3$

$\det(B) = 1* -3= -3$

(3) 行列 C の行列式

$\det(C) = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + (-1) \cdot C_{14}$

$C_{11} = (-1)^{1+1} \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} = 1 \cdot (2 - 4) - 1 \cdot (6 - 2) + 4 \cdot (6 - 1) = -2 - 4 + 20 = 14$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \det \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{bmatrix} = -1 \cdot (2 \cdot (2 - 4) - 1 \cdot (6 - 0) + 4 \cdot (6 - 0) ) = -1 (-4 - 6 + 12) = -(10) = -2$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \det \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}=2 - 0 = (2-1)- (6-0)

(-1) det ((2 -1), (6-0)) -(1 ( (-1(2 * 1)-3 *4 ) =- (2 * ( 1-3 ) )

(48+2+3

C_{14} =(-1)^{1+4}det \[3 12 ]

0 \cdotC_13 = (-1)^{1+3} det

$\det(C) = (1) *14 + (2*-2+ -1 * =-5

###

3. 最終的な答え

* $\det(A) = 11$

* $\det(B) = -3$

* $\det(C) = -5$