虚数 $z$ が、$z + \frac{1}{z}$ が実数となるように動くとき、以下の問いに答える。 (1) 複素数平面上で点 $z$ はどのような図形を描くか。 (2) $w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$ とおくとき、$w$ の絶対値と偏角の取り得る範囲をそれぞれ求める。ただし、偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とする。

1. 問題の内容

虚数 $z$ が、$z + \frac{1}{z}$ が実数となるように動くとき、以下の問いに答える。

(1) 複素数平面上で点 $z$ はどのような図形を描くか。

(2) $w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$ とおくとき、$w$ の絶対値と偏角の取り得る範囲をそれぞれ求める。ただし、偏角は $0$ 以上 $2\pi$ 未満とする。

2. 解き方の手順

(1) $z = x + yi$ （$x, y$ は実数、$y \neq 0$）とおく。

$z + \frac{1}{z} = x + yi + \frac{1}{x + yi} = x + yi + \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = x + \frac{x}{x^2 + y^2} + (y - \frac{y}{x^2 + y^2})i$

$z + \frac{1}{z}$ が実数となる条件は、虚部が $0$ になることであるから、

$y - \frac{y}{x^2 + y^2} = 0$

$y(1 - \frac{1}{x^2 + y^2}) = 0$

$y \neq 0$ より、

$1 - \frac{1}{x^2 + y^2} = 0$

$x^2 + y^2 = 1$

これは、原点を中心とする半径 $1$ の円を表す。ただし、$y \neq 0$ なので、$z = 1, -1$ は除く。

したがって、$z$ は原点を中心とする半径 $1$ の円から実軸との交点 $1, -1$ を除いた図形を描く。

(2) $z = x + yi$ は $x^2 + y^2 = 1$ を満たすので、$z = e^{i\theta}$ （$\theta \neq 0, \pi$）と表せる。

$w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4 = (e^{i\theta} + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$

$\sqrt{2} + \sqrt{2}i = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i) = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$

$w = (e^{i\theta} + 2e^{i\frac{\pi}{4}})^4$

$|w| = |e^{i\theta} + 2e^{i\frac{\pi}{4}}|^4$

$w = (e^{i\theta} + 2e^{i\frac{\pi}{4}})^4 = e^{i\pi} (2e^{i\frac{\pi}{4}} - e^{i\theta})^4$

$w = (z+\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^4=(e^{i\theta}+2e^{i\frac{\pi}{4}})^4$

$|z + \sqrt{2} + \sqrt{2} i|^2 = (x+\sqrt{2})^2 + (y+\sqrt{2})^2 = x^2+2\sqrt{2}x+2 + y^2 + 2\sqrt{2}y + 2 = 1+4+2\sqrt{2}(x+y)=5+2\sqrt{2}(x+y)$

$z$ は単位円上の点なので、$z=cos\theta+isin\theta$と表せる。

$x=cos\theta$, $y=sin\theta$

$|z + \sqrt{2} + \sqrt{2} i|^2 = 5+2\sqrt{2}(cos\theta+sin\theta)=5+4sin(\theta+\frac{\pi}{4})$

$-1 \leq sin(\theta+\frac{\pi}{4}) \leq 1$ であるから

$1 \leq |z+\sqrt{2}+\sqrt{2}i|^2 \leq 9$

$1 \leq |z+\sqrt{2}+\sqrt{2}i| \leq 3$

$1 \leq |z+\sqrt{2}+\sqrt{2}i|^4 \leq 81$

$1 \leq |w| \leq 81$

$z = e^{i\theta}$, $\sqrt{2} + \sqrt{2}i = 2 e^{i\frac{\pi}{4}}$

$w = (e^{i\theta} + 2 e^{i\frac{\pi}{4}})^4$

偏角を考えると、$0 < \theta < 2\pi$, $\theta \neq \pi$

$arg(w) = 4 arg(e^{i\theta} + 2 e^{i\frac{\pi}{4}}) = 4 arg(cos\theta+isin\theta + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)$

$\theta = 0$ に近づくと $z \to 1$, $w \to (1+\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^4$

$\theta = \pi$ に近づくと $z \to -1$, $w \to (-1+\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^4$

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心とする半径 $1$ の円から $1$ と $-1$ を除いた図形。

(2) 絶対値の範囲：$1 \leq |w| \leq 81$, 偏角の範囲：$0 \le arg(w) < 2\pi$