与えられた3つの式の二重根号を外して、式を簡単にすること。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式の二重根号を外して、式を簡単にすること。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

まず、根号の中身を $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の形にすることを考えます。

$7+2\sqrt{10}$ を $a^2+b^2+2ab$ の形に当てはめると、$a^2+b^2 = 7$ かつ $ab = \sqrt{10}$ となる $a, b$ を探します。

$a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{5}$ とすると、$a^2+b^2 = 2+5 = 7$ かつ $ab = \sqrt{2} \times \sqrt{5} = \sqrt{10}$ となります。

したがって、$7+2\sqrt{10} = (\sqrt{2}+\sqrt{5})^2$ となります。

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2} = |\sqrt{2}+\sqrt{5}| = \sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$

$12-2\sqrt{27}$ を $a^2+b^2 - 2ab$ の形に当てはめると、$a^2+b^2 = 12$ かつ $ab = \sqrt{27}$ となる $a, b$ を探します。

$a = \sqrt{9}=3$, $b = \sqrt{3}$ とすると、$a^2+b^2 = 9+3 = 12$ かつ $ab = 3 \times \sqrt{3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = \sqrt{27}$ となります。

したがって、$12-2\sqrt{27} = (3-\sqrt{3})^2$ となります。

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = |3-\sqrt{3}| = 3-\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$

$\sqrt{3+\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$

$6+2\sqrt{5}$ を $a^2+b^2+2ab$ の形に当てはめると、$a^2+b^2 = 6$ かつ $ab = \sqrt{5}$ となる $a, b$ を探します。

$a = \sqrt{1}$, $b = \sqrt{5}$ とすると、$a^2+b^2 = 1+5 = 6$ かつ $ab = \sqrt{1} \times \sqrt{5} = \sqrt{5}$ となります。

したがって、$6+2\sqrt{5} = (1+\sqrt{5})^2$ となります。

$\frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(1+\sqrt{5})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|1+\sqrt{5}|}{\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{5})}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $3 - \sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$