3桁の自然数のうち、各位の数の和が6になる数は何個あるか。つまり、100から999までの整数のうち、各桁の数字を足すと6になるものがいくつあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

3桁の自然数のうち、各位の数の和が6になる数は何個あるか。つまり、100から999までの整数のうち、各桁の数字を足すと6になるものがいくつあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

百の位の数を $a$ 、十の位の数を $b$ 、一の位の数を $c$ とします。

すると、問題は以下の式を満たす整数の組 $(a, b, c)$ の数を求めることになります。

$a + b + c = 6$

ただし、 $a$ は1から9までの整数、 $b$ と $c$ は0から9までの整数です。

$a$ は少なくとも1でなければならないので、$a' = a - 1$ と置くと、$a'$ は0以上の整数となり、以下のように書き換えられます。

$a' + 1 + b + c = 6$

$a' + b + c = 5$

$a', b, c$ は全て0以上の整数なので、この式を満たす整数の組の数を考えます。

これは、「5個の同じものを3つの異なる箱に入れる場合の数」と同じです。

これを求めるために、「仕切り」の考え方を使います。5個のものを並べ、2つの仕切りを入れることで3つのグループに分けます。

例えば、 〇〇｜〇〇〇｜ という分け方なら、$a' = 2, b = 3, c = 0$ となります。

したがって、全部で $5 + 2 = 7$ 個の場所があり、そのうち2つに仕切りを入れる場所を選ぶことになります。

組み合わせの数として計算すると、

${}_7 C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

となります。

3. 最終的な答え

21個