底面の半径が 8cm、高さが 24cm の円錐形の容器に、毎秒 5 $cm^3$ の割合で水を注ぐ。水面の高さが 12cm になったときの水面の上昇速度を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が 8cm、高さが 24cm の円錐形の容器に、毎秒 5 $cm^3$ の割合で水を注ぐ。水面の高さが 12cm になったときの水面の上昇速度を求める。

2. 解き方の手順

円錐の体積 $V$、半径 $r$、高さ $h$ の間には以下の関係がある。

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

円錐の相似の関係から、水面の高さと半径の比は常に一定である。

容器の高さが 24cm、半径が 8cm なので、高さと半径の比は 24:8 = 3:1 である。

したがって、水面の高さ $h$ と半径 $r$ の間には以下の関係が成り立つ。

$h = 3r$

$r = \frac{h}{3}$

体積 $V$ を高さ $h$ の関数として表す。

$V = \frac{1}{3} \pi (\frac{h}{3})^2 h = \frac{\pi h^3}{27}$

両辺を時間 $t$ で微分する。

$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{27} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{9} \frac{dh}{dt}$

問題文より、$\frac{dV}{dt} = 5$ $cm^3$/s であり、$h = 12$ cm のときの $\frac{dh}{dt}$ を求めたい。

$5 = \frac{\pi (12)^2}{9} \frac{dh}{dt}$

$5 = \frac{144\pi}{9} \frac{dh}{dt}$

$5 = 16\pi \frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{5}{16\pi}$

3. 最終的な答え

水面の上昇速度は $\frac{5}{16\pi}$ cm/s