100人の旅行者にアンケートを実施したところ、アメリカに行ったことがある人が80人、中国に行ったことがある人が70人であった。アメリカと中国の両方に行ったことがある人の人数の最小値と最大値を求めよ。

1. 問題の内容

100人の旅行者にアンケートを実施したところ、アメリカに行ったことがある人が80人、中国に行ったことがある人が70人であった。アメリカと中国の両方に行ったことがある人の人数の最小値と最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

アメリカに行ったことがある人の集合をA、中国に行ったことがある人の集合をBとする。それぞれの人数を$n(A)=80$、$n(B)=70$とする。アンケートに答えた人全体の集合をUとすると、$n(U)=100$である。アメリカと中国の両方に行ったことのある人の集合は$A \cap B$である。求めるのは$n(A \cap B)$の最小値と最大値である。

* $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

* $A \cup B \subseteq U$ より、$n(A \cup B) \leq n(U)$

* $n(A) + n(B) - n(A \cap B) \leq n(U)$

* $80 + 70 - n(A \cap B) \leq 100$

* $150 - n(A \cap B) \leq 100$

* $50 \leq n(A \cap B)$

よって、$n(A \cap B)$の最小値は50である。

次に、最大値を考える。

$A \cap B \subseteq A$より、$n(A \cap B) \leq n(A) = 80$

$A \cap B \subseteq B$より、$n(A \cap B) \leq n(B) = 70$

したがって、$n(A \cap B)$の最大値は$n(A \cap B) \leq \min(n(A), n(B))$で与えられる。

$n(A \cap B) \leq \min(80, 70) = 70$

よって、$n(A \cap B)$の最大値は70である。

3. 最終的な答え

最小値：50人

最大値：70人