AとBの2つの野球チームが繰り返し対戦し、先に3回勝ったチームを優勝とします。各試合でAがBに勝つ確率は$\frac{2}{3}$とし、引き分けはないものとします。 (1) Aが初戦から3連勝で優勝する確率を求めます。 (2) Aが3勝2敗で優勝する確率を求めます。 (3) Bが優勝する確率を求めます。 (4) Aが初戦から2連勝した後、Aが優勝する確率を求めます。

1. 問題の内容

AとBの2つの野球チームが繰り返し対戦し、先に3回勝ったチームを優勝とします。各試合でAがBに勝つ確率は$\frac{2}{3}$とし、引き分けはないものとします。

(1) Aが初戦から3連勝で優勝する確率を求めます。

(2) Aが3勝2敗で優勝する確率を求めます。

(3) Bが優勝する確率を求めます。

(4) Aが初戦から2連勝した後、Aが優勝する確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) Aが初戦から3連勝で優勝する確率は、Aが3回連続で勝つ確率なので、

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

(2) Aが3勝2敗で優勝する場合、Aは5試合目で3勝目を挙げて優勝します。つまり、最初の4試合でAが2勝2敗となり、5試合目でAが勝つ必要があります。最初の4試合でAが2勝2敗となる確率は、

$_4C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

その後、Aが勝つ確率を掛けて、

$\frac{8}{27} \times \frac{2}{3} = \frac{16}{81}$

(3) Bが優勝する確率は、Aが優勝する確率を1から引いて求めることができます。Aが3回で優勝する確率は$(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$。Aが4回で優勝する確率は$_3C_2(\frac{2}{3})^3(\frac{1}{3}) = 3 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$。Aが5回で優勝する確率は$_4C_2(\frac{2}{3})^3(\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} = \frac{48}{243} = \frac{16}{81}$。

Aが優勝する確率は$\frac{8}{27} + \frac{24}{81} + \frac{16}{81} = \frac{24 + 24 + 16}{81} = \frac{64}{81}$。

Bが優勝する確率は$1 - \frac{64}{81} = \frac{81 - 64}{81} = \frac{17}{81}$。

または、Bが3回で優勝する確率は$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$。Bが4回で優勝する確率は$_3C_2(\frac{1}{3})^3(\frac{2}{3}) = 3 \times \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}$。Bが5回で優勝する確率は$_4C_2(\frac{1}{3})^3(\frac{2}{3})^2 = 6 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{243} = \frac{8}{81}$。

Bが優勝する確率は$\frac{1}{27} + \frac{6}{81} + \frac{8}{81} = \frac{3 + 6 + 8}{81} = \frac{17}{81}$。

(4) Aが初戦から2連勝した後、Aが優勝する確率は、Aがもう1勝すれば優勝します。

Aが3戦目で勝つ確率は$\frac{2}{3}$。Aが3戦目で負けて4戦目で勝つ確率は$\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$。

Aが3戦目で負けて4戦目で負けて5戦目で勝つ確率は$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$。

Aが優勝する確率は$\frac{2}{3} + \frac{2}{9} + 0 = \frac{6 + 2}{9} = \frac{8}{9}$

あるいは、Aが残りの試合で1回勝てばよいので、Aが1回で勝つ確率は$\frac{2}{3}$。Aが2回目に勝つ確率は$\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$。したがって、Aが優勝する確率は、$\frac{2}{3} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9}$

ここで、Aが初戦から2連勝しているので、残り1勝すればAが優勝する。したがって、Aが3戦目で勝つ確率は$\frac{2}{3}$。Aが3戦目で負けて4戦目で勝つ確率は$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$である。したがって、Aが優勝する確率は、$\frac{2}{3}+\frac{2}{9}=\frac{6+2}{9}=\frac{8}{9}$。

Aが残りの1勝をする確率を求める。残りの対戦において、Aが勝つ確率は$\frac{2}{3}$、Bが勝つ確率は$\frac{1}{3}$である。

Aが1回で勝つ確率は$\frac{2}{3}$。Aが2回目に勝つ確率は、Bが1回目に勝つ必要があるため、$\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$。

したがって、Aが優勝する確率は$\frac{2}{3} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9}$

$\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$。 Aが3試合目に負けた場合、次でAが勝てば、Aが優勝する。Aが3試合目に負けて4試合目に勝つ確率は、$(\frac{1}{3}) \times (\frac{2}{3}) = \frac{2}{9}$。従って、初めの2試合に勝っているので、$\frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$。$\frac{2}{3} + \frac{1}{3}(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9}$

$1/3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{27}$

(2) $\frac{16}{81}$

(3) $\frac{17}{81}$

(4) $\frac{26}{27}$