1つのサイコロを1回投げます。偶数の目が出たら硬貨を2枚投げ、奇数の目が出たら硬貨を1枚投げます。サイコロの出た目を$X$, 硬貨投げで表が出た枚数を$Y$とします。$X=1$となる事象を$A$, $Y=0$となる事象を$B$とするとき、事象$B$が起こったときの事象$A$が起こる条件付き確率を求めます。

1. 問題の内容

1つのサイコロを1回投げます。偶数の目が出たら硬貨を2枚投げ、奇数の目が出たら硬貨を1枚投げます。サイコロの出た目を$X$, 硬貨投げで表が出た枚数を$Y$とします。$X=1$となる事象を$A$, $Y=0$となる事象を$B$とするとき、事象$B$が起こったときの事象$A$が起こる条件付き確率を求めます。

2. 解き方の手順

事象$B$は、$Y=0$となる事象、つまり、硬貨を投げた時に表が1枚も出ない事象です。

$P(A|B)$を求めるために、$P(A \cap B)$と$P(B)$をそれぞれ計算します。

まず、$P(A \cap B)$を計算します。$A$は$X=1$となる事象なので、サイコロで1が出て、かつ、硬貨投げで表が1枚も出ない事象です。サイコロで1が出る確率は$\frac{1}{6}$です。サイコロで1が出たとき、硬貨を1枚投げます。その硬貨が裏になる確率は$\frac{1}{2}$です。したがって、

$P(A \cap B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$

次に、$P(B)$を計算します。$Y=0$となる事象は、サイコロの目が偶数のときは2枚の硬貨を投げ、2枚とも裏になる場合と、サイコロの目が奇数のときは1枚の硬貨を投げ、その硬貨が裏になる場合です。

サイコロの目が偶数である確率は$\frac{1}{2}$で、そのとき2枚の硬貨を投げ、2枚とも裏になる確率は$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$です。

サイコロの目が奇数である確率は$\frac{1}{2}$で、そのとき1枚の硬貨を投げ、その硬貨が裏になる確率は$\frac{1}{2}$です。

したがって、

$P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$

求める条件付き確率は、

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{3}{8}} = \frac{1}{12} \times \frac{8}{3} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{9}$