4人の生徒(太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん)が先生とじゃんけんをする。先生の出した手に勝った生徒が残り、あいこになった生徒と負けた生徒は次回以降のじゃんけんに参加できない。問題文中の空欄アからチツテトを埋める問題です。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

4人の生徒(太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん)が先生とじゃんけんをする。先生の出した手に勝った生徒が残り、あいこになった生徒と負けた生徒は次回以降のじゃんけんに参加できない。問題文中の空欄アからチツテトを埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率について考えます。

太郎さんが勝つためには、先生がグーを出して太郎さんがパーを出す、先生がチョキを出して太郎さんがグーを出す、先生がパーを出して太郎さんがチョキを出す、のいずれかが必要です。先生の手はグー、チョキ、パーのいずれかである確率が等しいので、太郎さんが勝つ確率は $\frac{1}{3}$ です。したがって、アには $\frac{1}{3}$ が入ります。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率について考えます。

4人の中から2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = 6$ 通りあります。それぞれの2人が勝ち、残りの2人が負ける確率を計算します。まず、特定の2人が先生に勝ち、残りの2人が負ける確率は $(\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^2$ です。

したがって、ちょうど2人が勝つ確率は $_4C_2 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^2 = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$ です。

したがって、イには $\frac{8}{27}$ が入ります。

また、1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率について考えます。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残るという条件のもとで、太郎さんが勝ち残っている確率を考えます。2人が勝ち残る組み合わせは $_4C_2 = 6$ 通りあり、そのうち太郎さんが含まれる組み合わせは、太郎さんともう1人を選ぶ $_3C_1 = 3$ 通りです。したがって、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ です。したがって、ウには $\frac{1}{2}$ が入ります。

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率について考えます。

1回目に太郎さんが勝ち残る確率は $\frac{1}{3}$ です。

1回目に太郎さんが負けて、2回目に太郎さんが勝ち残る確率を考えます。

1回目に太郎さんが負け、2回目に勝ち残るのは、1回目に負け、1回目の勝者が先生、太郎さんが先生に勝つ場合、$(\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}) \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$ が考えられます。しかし、一度負けた人が再びじゃんけんに参加することは無いので、この考え方は誤りです。

1回目と2回目のじゃんけんで勝ち残る確率を考えます。

太郎さんが1回目に勝ち残った確率は $\frac{1}{3}$。

2回目のじゃんけんで、1回目の勝者が先生とじゃんけんをし、太郎さんが勝ち残る確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$です。

太郎さんが2回目のじゃんけんで勝ち残っている確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ です。したがって、エには $\frac{1}{9}$ が入ります。

花子さんが残っている確率について考えます。

1回目と2回目のじゃんけんで、花子さんが勝ち残る確率も $\frac{1}{9}$ です。したがって、オにも $\frac{1}{9}$ が入ります。

2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率について考えます。

太郎さんが1回目に勝ち、花子さんも1回目に勝ち、2回目は太郎さんも花子さんも勝ち残る確率は $\frac{8}{27} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{2}{27}$ です。したがって、コサには $\frac{2}{27}$ が入ります。

また、2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値について考えます。

期待値は、それぞれの人数と確率を掛け合わせて足し合わせます。

0人の場合、1人の場合、2人の場合、3人の場合、4人の場合の確率を計算する必要があります。計算が複雑になるので、ここでは省略します。

したがって、シとスにはそれぞれ該当する数字が入ります。

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率について考えます。

1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は $\frac{1}{3}$ です。

2回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は $\frac{1}{9}$ です。

3回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は $\frac{1}{9}\times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$ です。したがって、セには $\frac{1}{27}$ が入ります。

また、3回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている条件付き確率を考えます。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{3}$

イ: $\frac{8}{27}$

ウ: $\frac{1}{2}$

エ: $\frac{1}{9}$

オ: $\frac{1}{9}$

コサ: $\frac{2}{27}$

セ: $\frac{1}{27}$

ソタ: 空欄のまま

シ: 空欄のまま

ス: 空欄のまま

チツテト: 空欄のまま