4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。先生は毎回1つの手を出し、生徒は勝つか、あいこになるか、負けるかのいずれかである。あいこと負けた生徒は次のじゃんけんに参加できない。勝ち残った生徒は再び先生とじゃんけんをする。勝ち残った生徒がいない場合、誰も勝ち残らなかったとして次回のじゃんけんを考える。 問題は2回目のじゃんけんの後に起こる確率や期待値を求めるものである。 具体的には、 * 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率 * 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っていない確率 * 2回目のじゃんけんの後、花子さんが勝ち残っている確率 * 2回目のじゃんけんの後、月子さんが勝ち残っていない確率 * 2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率 * 2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値

1. 問題の内容

4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。先生は毎回1つの手を出し、生徒は勝つか、あいこになるか、負けるかのいずれかである。あいこと負けた生徒は次のじゃんけんに参加できない。勝ち残った生徒は再び先生とじゃんけんをする。勝ち残った生徒がいない場合、誰も勝ち残らなかったとして次回のじゃんけんを考える。

問題は2回目のじゃんけんの後に起こる確率や期待値を求めるものである。

具体的には、

* 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率

* 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っていない確率

* 2回目のじゃんけんの後、花子さんが勝ち残っている確率

* 2回目のじゃんけんの後、月子さんが勝ち残っていない確率

* 2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率

* 2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値

2. 解き方の手順

まず、先生と生徒が出す手のパターンを考える。先生の手はグー、チョキ、パーの3通り。生徒の手も同様に3通り。生徒が勝ち残る条件を考える。

1回目のじゃんけんについて。先生がパーを出した場合、太郎さんがチョキ、花子さんがチョキ、次郎さんがグー、月子さんがパーを出すと、太郎さんと花子さんが勝ち残る。

先生がグーを出した場合、生徒が勝つためには生徒はパーを出す必要があり、先生がチョキを出した場合、生徒が勝つためには生徒はグーを出す必要がある。

2回目のじゃんけんについて、同様に考える。

確率を計算する。

先生の手と生徒の手の出し方はそれぞれ3通りあるので、全体の場合の数は $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 = 243$ 通り。

* 太郎さんが勝ち残る確率: 先生がグーを出したら太郎さんはパーを出す必要があり、先生がチョキを出したら太郎さんはグーを出す必要があり、先生がパーを出したら太郎さんはチョキを出す必要がある。

太郎さんが勝ち残る確率は1/3。

* 太郎さんが勝ち残っていない確率： $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

* 花子さんが勝ち残る確率： 同様に1/3。

* 月子さんが勝ち残っていない確率： $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

* 太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率。これは少し複雑である。1回目のじゃんけんで太郎さんと花子さんだけが勝ち残る確率を考える。先生の手がグーのとき、太郎さんと花子さんがパーを出し、次郎さんと月子さんがグー、チョキを出す組み合わせを考える。先生の手がチョキ、パーのときも同様に考える。

太郎さんと花子さんだけが勝ち残る確率は $\frac{2}{3^5} + \frac{2}{3^5} + \frac{2}{3^5} = \frac{2}{3^2} = \frac{2}{9}$

先生がグーを出した場合、太郎さんと花子さんはパーを出す必要があり、次郎さんと月子さんは負ける必要がある。それぞれの確率は $1/3$ である。太郎さんと花子さんだけが勝ち残る確率は $1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 = \frac{1}{3^4}$

太郎さんと花子さんだけが勝ち残っている確率は$\frac{1}{81}$。先生の手は3種類あるので、$3 * \frac{1}{81} = \frac{1}{27}$

* 2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値:

勝ち残る生徒の人数は0, 1, 2, 3, 4人のいずれかである。それぞれの確率を計算する必要がある。

3. 最終的な答え

* 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は $\frac{1}{3}$

* 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っていない確率は $\frac{2}{3}$

* 2回目のじゃんけんの後、花子さんが勝ち残っている確率は $\frac{1}{3}$

* 2回目のじゃんけんの後、月子さんが勝ち残っていない確率は $\frac{2}{3}$

* 2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は $\frac{1}{27}$

* 2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値は $\frac{4}{3}$