先生と4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）がじゃんけんをする。先生は毎回手を出し、生徒は先生に勝った場合に勝ち残る。あいこと負けた生徒は次のじゃんけんに参加できない。勝ち残った生徒のみが次のじゃんけんに参加する。ただし、誰も勝ち残らない場合は、便宜上0人の生徒が勝ち残ったものとする。このとき、2回目のじゃんけんの後について、太郎さんが勝ち残っている確率、太郎さんが勝ち残っていない確率、花子さんが勝ち残っている確率、月子さんが勝ち残っていない確率、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率、そして勝ち残っている生徒の人数期待値を求める。

1. 問題の内容

先生と4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）がじゃんけんをする。先生は毎回手を出し、生徒は先生に勝った場合に勝ち残る。あいこと負けた生徒は次のじゃんけんに参加できない。勝ち残った生徒のみが次のじゃんけんに参加する。ただし、誰も勝ち残らない場合は、便宜上0人の生徒が勝ち残ったものとする。このとき、2回目のじゃんけんの後について、太郎さんが勝ち残っている確率、太郎さんが勝ち残っていない確率、花子さんが勝ち残っている確率、月子さんが勝ち残っていない確率、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率、そして勝ち残っている生徒の人数期待値を求める。

2. 解き方の手順

まず、先生が何を出すかで場合分けをして考える。生徒が先生に勝つ確率は $1/3$、あいこになる確率は $1/3$、負ける確率は $1/3$である。

(2) 2回目のじゃんけんの後について

* 太郎さんが勝ち残る確率

1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は $1/3$。

1回目で太郎さんが勝ち残らなかった場合（あいこか負け）は、2回目のじゃんけんに参加できないので、2回目に勝ち残ることはない。よって、2回目に太郎さんが勝ち残っている確率は $1/3 \times 1/3 = 1/9$。

* 太郎さんが勝ち残っていない確率

太郎さんが勝ち残る確率が $1/9$ なので、勝ち残っていない確率は $1 - 1/9 = 8/9$。

* 花子さんが勝ち残っている確率

花子さんが勝ち残る確率は太郎さんと同様に $1/9$。

* 月子さんが勝ち残っていない確率

月子さんが勝ち残っていない確率は太郎さんと同様に $8/9$。

* 太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率

1回目に太郎さんと花子さんだけが勝ち残り、2回目は2人とも負けるという状況が発生した場合、便宜的に0人勝ち残りとするルールなので、1回目のじゃんけんで太郎さんと花子さんだけ勝ち残る確率を計算すれば良い。

1回目に太郎さんと花子さんが勝ち残るためには、先生はグーを出す必要があり、太郎さんと花子さんはチョキを出し、次郎さんはパーを出し、月子さんはパーを出す必要がある。

この確率は $(1/3)(1/3)(1/3)(1/3)= 1/81$。したがって、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は $1/81$。

* 勝ち残っている生徒の人数の期待値

勝ち残っている生徒の人数は0,1,2,3,4人のいずれかである。

それぞれの人数である確率を計算し、期待値を計算する。

しかし、この問題の箇所に関しては、少し簡略化できる。

2回目のじゃんけんのあと、生徒i(i=1,2,3,4)が勝ち残っている確率を $p_i$ とすると、期待値は $\sum_{i=1}^4 p_i$である。

したがって、期待値は $4 \times (1/9) = 4/9$。

3. 最終的な答え

* 太郎さんが勝ち残っている確率は $\frac{1}{9}$

* 太郎さんが勝ち残っていない確率は $\frac{8}{9}$

* 花子さんが勝ち残っている確率は $\frac{1}{9}$

* 月子さんが勝ち残っていない確率は $\frac{8}{9}$

* 太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は $\frac{1}{81}$

* 勝ち残っている生徒の人数の期待値は $\frac{4}{9}$