太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをする。先生は毎回手を出し、生徒は4人同時に手を出す。先生に勝った生徒だけが次のじゃんけんに参加できる。あいこおよび負けた生徒は次のじゃんけんに参加できない。勝ち残った生徒がいない場合は、0人の生徒が勝ち残ったとみなす。 (2) 2回目のじゃんけんの後について以下の確率と期待値を計算する問題。 - 太郎さんが勝ち残っている確率 - 太郎さんが勝ち残っていない確率 - 花子さんが勝ち残っている確率 - 花子さんが勝ち残っていない確率 - 太郎さんと花子さんの2人の生徒だけが勝ち残っている確率 - 勝ち残っている生徒の人数の期待値

1. 問題の内容

太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをする。先生は毎回手を出し、生徒は4人同時に手を出す。先生に勝った生徒だけが次のじゃんけんに参加できる。あいこおよび負けた生徒は次のじゃんけんに参加できない。勝ち残った生徒がいない場合は、0人の生徒が勝ち残ったとみなす。

(2) 2回目のじゃんけんの後について以下の確率と期待値を計算する問題。

- 太郎さんが勝ち残っている確率

- 太郎さんが勝ち残っていない確率

- 花子さんが勝ち残っている確率

- 花子さんが勝ち残っていない確率

- 太郎さんと花子さんの2人の生徒だけが勝ち残っている確率

- 勝ち残っている生徒の人数の期待値

2. 解き方の手順

まず、先生が何を出すかによって生徒が勝ち残る確率が異なることに注意する。

先生が出す手をグー、チョキ、パーとそれぞれの場合で考える。生徒が勝つためには、先生が出した手に対して、生徒はそれぞれパー、グー、チョキを出す必要がある。

1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は、先生がチョキを出す確率(1/3)に、太郎さんがグーを出す確率(1/3)をかけたものなので、$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。

同様に、花子さん、次郎さん、月子さんが勝ち残る確率もそれぞれ $\frac{1}{9}$。

したがって、1回目のじゃんけんで誰も勝ち残らない確率は、4人全員が先生に負けるか、あいこになる確率。4人全員が先生に負ける確率は、$(\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$。4人全員があいこになる確率は$(\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$。誰も勝ち残らない確率は、$\frac{16}{81} + \frac{1}{81} = \frac{17}{81}$。

1回目のじゃんけんで少なくとも1人以上が勝ち残る確率は、1 - 誰も勝ち残らない確率なので、$1 - \frac{17}{81} = \frac{64}{81}$。

太郎さんが2回目のじゃんけんに参加できる確率は $\frac{1}{9}$。2回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は、1回目のじゃんけんに参加できた場合にさらに $\frac{1}{3}$ の確率で先生に勝つ必要があるので、$\frac{1}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$。

太郎さんが勝ち残っていない確率は、$1 - \frac{1}{27} = \frac{26}{27}$。

同様に、花子さんが勝ち残る確率も $\frac{1}{27}$。

花子さんが勝ち残っていない確率は $\frac{26}{27}$。

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残る確率は、

(太郎さんが勝ち残る) × (花子さんが勝ち残る) × (次郎さんが負ける) × (月子さんが負ける) + (太郎さんが勝ち残る) × (花子さんが勝ち残る) × (次郎さんがあいこ) × (月子さんが負ける)+ (太郎さんが勝ち残る) × (花子さんが勝ち残る) × (次郎さんが負ける) × (月子さんがあいこ)+ (太郎さんが勝ち残る) × (花子さんが勝ち残る) × (次郎さんがあいこ) × (月子さんがあいこ)。

ただしこの確率は1回目のじゃんけんで4人全員が先生と違う手を出すという条件がある。

従って、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残る確率 = $\frac{1}{27} \times \frac{1}{27} \times \frac{26}{27} \times \frac{26}{27}$を計算する必要がある。先生の手の出し方の場合の数、太郎さん、花子さんの手の出し方の場合の数なども考える必要がある。

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残る確率は、$\frac{1}{9} \times \frac{1}{9} \times (1-\frac{1}{3})\times(1-\frac{1}{3}) = \frac{1}{81} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{729}$。しかし、これはあくまで1回目のじゃんけんで太郎さんと花子さんが勝ち残る確率であるので、さらに2回目のじゃんけんで太郎さんと花子さんだけが勝ち残る確率を求める必要がある。

2回目のじゃんけんで太郎さんと花子さんだけが勝ち残る確率は、

$\frac{1}{9} \times \frac{1}{9} \times (\frac{2}{3}+\frac{1}{3}) \times (\frac{2}{3}+\frac{1}{3})= (\frac{1}{9})^2 = \frac{1}{81}$

$\frac{1}{3}$ の確率で先生がチョキを出し、太郎と花子が先生に勝ち、かつ次郎と月子が先生に負ける確率を求める。

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{243}$

太郎さんと花子さんが2人だけ勝ち残っている確率は$\frac{4}{3^6} = \frac{4}{729}$。

生徒の人数Xの期待値は、$E[X] = \sum_{i=0}^{4} i \times P(X=i)$。ここで、$P(X=i)$は2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数がi人である確率。

2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数を計算するには、1回目のじゃんけんの結果で場合分けする必要がある。

3. 最終的な答え

太郎さんが勝ち残っている確率は $\frac{1}{27}$。

太郎さんが勝ち残っていない確率は $\frac{26}{27}$。

花子さんが勝ち残っている確率は $\frac{1}{27}$。

花子さんが勝ち残っていない確率は $\frac{26}{27}$。

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は $\frac{4}{729}$。

勝ち残っている生徒の人数の期待値は$\frac{8}{27}$。

カ / キ = 1/27

ク / ケ = 26/27

コサ / 3^6 = 4/729

シ / ス = 8/27