4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。先生は常に一定の手を出し、生徒はそれぞれの手をランダムに出す。生徒が勝ち残る確率や、特定の場合に勝ち残る確率、勝ち残る人数の期待値などを計算する問題である。

1. 問題の内容

4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。先生は常に一定の手を出し、生徒はそれぞれの手をランダムに出す。生徒が勝ち残る確率や、特定の場合に勝ち残る確率、勝ち残る人数の期待値などを計算する問題である。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率

先生が出す手を固定すると、太郎さんが勝つ手は1種類である。他の3人の生徒の手は太郎さんの勝敗に関係なく、それぞれグー、チョキ、パーのいずれかである。したがって、太郎さんが勝つ確率は1/3である。

$ア = \frac{1}{3}$

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率

まず、太郎さんが勝ち残る場合を考える。太郎さんが勝ち残るためには、先生が出した手に対して勝つ手を出す必要がある。残りの3人の中から1人だけが太郎さんと一緒に勝ち残る確率を求める。3人の中から1人を選ぶ方法は $_3C_1 = 3$ 通り。その選ばれた1人は先生に勝つ手を出し、残りの2人はあいこか負ける手を出す必要がある。あいこか負ける手を出す確率は2/3である。したがって、求める確率は、

$\frac{1}{3} \times 3 \times \frac{1}{3} \times (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{27}$

同様に、太郎さんが負け、残り2人が勝つ場合もある。

結局、生徒の中から2人が勝ち残る確率は、$_4C_2 (\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})^2 = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

$イ = \frac{8}{27}$

また、1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率は

$\frac{\frac{1}{3} \times 3 \times \frac{1}{3} \times (\frac{2}{3})^2}{\frac{8}{27}} = \frac{\frac{4}{27}}{\frac{8}{27}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$ウ = \frac{1}{2}$

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は

1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率が1/3。

1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残っていない確率は2/3。

2回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は、1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残っていて2回目も勝ち残る確率足す、1回目に太郎さんが負けて2回目に勝ち残る確率。

問題文より、勝ち残った生徒だけがじゃんけんに参加する。

2回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は、

$\frac{1}{3} \times 1 + \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$

$カ = \frac{5}{9}$

太郎さんが勝ち残っていない確率は、

$キ = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

花子さんが勝ち残っている確率は

$ク = \frac{5}{9}$

花子さんが勝ち残っていない確率は

$ケ = \frac{4}{9}$

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は

$コサ = \frac{13}{27}$

2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値は

$シ = \frac{10}{9}$

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は

$セ = \frac{17}{27}$

また、3回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率は

$ソタ = \frac{76}{81}$

$チツテト = \frac{76}{81}$

3. 最終的な答え

ア: 1/3

イ: 8/27

ウ: 1/2

エ: 1/2

カ: 5/9

キ: 4/9

ク: 5/9

ケ: 4/9

コサ: 13/27

シ: 10/9

セ: 17/27

ソタ: 76/81

チツテト: 76/81