4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。 先生は毎回パーを出し、生徒はグー、チョキ、パーのいずれかを出す。 生徒が先生に勝った場合、その生徒は勝ち残り、あいこまたは負けた生徒は次のじゃんけんには参加できない。 勝ち残った生徒が1人もいない場合、形式的に4人全員が残ったとして次のじゃんけんを考える。 問題は、1回目、2回目、3回目のじゃんけんの結果に関する確率や期待値を求めるものである。

1. 問題の内容

4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。

先生は毎回パーを出し、生徒はグー、チョキ、パーのいずれかを出す。

生徒が先生に勝った場合、その生徒は勝ち残り、あいこまたは負けた生徒は次のじゃんけんには参加できない。

勝ち残った生徒が1人もいない場合、形式的に4人全員が残ったとして次のじゃんけんを考える。

問題は、1回目、2回目、3回目のじゃんけんの結果に関する確率や期待値を求めるものである。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率

先生はパーを出すので、太郎さんがチョキを出せば勝ち残る。

太郎さんがチョキを出す確率は $1/3$ なので、太郎さんが勝ち残る確率は $1/3$。

ア = 1, イ = 3

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率

先生がパーを出すので、生徒のうち2人がチョキを出し、残りの2人がチョキ以外（グーまたはパー）を出す確率を求める。

4人の中から2人を選ぶ組み合わせの数は $_4C_2 = 6$。

2人がチョキを出す確率は $(1/3)^2 = 1/9$。

残りの2人がチョキ以外を出す確率は $(2/3)^2 = 4/9$。

したがって、求める確率は $_4C_2 \times (1/3)^2 \times (2/3)^2 = 6 \times (1/9) \times (4/9) = 24/81 = 8/27$。

ウ = 1, エ = 8, オ = 27

また、1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率

ちょうど2人が勝ち残った場合に、太郎さんが勝ち残っている確率を求める。

太郎さんが勝ち残っている場合、残り1人は3人の中から1人選ぶので、その選び方は $_3C_1 = 3$通り。

2人がチョキを出し、残りの2人がチョキ以外を出す確率は $3 \times (1/3)^2 \times (2/3)^2 = 3 \times (1/9) \times (4/9) = 12/81 = 4/27$。

したがって、求める条件付き確率は $(4/27)/(8/27) = 4/8 = 1/2$。

カ = 1, キ = 2

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率

1回目に太郎さんが勝ち残る確率は $1/3$。

1回目に太郎さんが負けた場合、2回目のじゃんけんには参加できないので、2回目に太郎さんが勝ち残ることはない。

したがって、2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は $1/3$。

ク = 1, ケ = 3

2回目のじゃんけんの後、次郎さんが勝ち残っていない確率

1回目に次郎さんが負けた場合、2回目のじゃんけんには参加できない。

1回目に次郎さんが勝ち残った場合、確率は $1/3$。

1回目にあいこになった場合（つまり、パーを出した場合）、確率は $1/3$。

2回目のじゃんけんにおいて、次郎さんが負けるまたはあいこになる確率は $2/3$。

したがって、2回目のじゃんけんの後、次郎さんが勝ち残っていない確率は $1 - (1/3 \times 1/3) = 1 - 1/9 = 8/9$。

コ = 8, サ = 9

2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率

1回目に太郎さんと花子さんが勝ち残る確率は $(1/3)^2 = 1/9$。

2回目に太郎さんと花子さんだけが勝ち残る確率は $(1/3)^2 = 1/9$。

求める確率は $(1/9) \times (1/3) \times (1/3) = 1/81$。

2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値

1回目のじゃんけんの後、勝ち残っている人数は、

0人の場合、確率 $p_0$

1人の場合、確率 $p_1 = 4 \times (1/3) \times (2/3)^3$

2人の場合、確率 $p_2 =$_4C_2 \times (1/3)^2 \times (2/3)^2 = 6 \times (1/9) \times (4/9) = 24/81 = 8/27$

3人の場合、確率 $p_3 =$_4C_3 \times (1/3)^3 \times (2/3) = 4 \times (1/27) \times (2/3) = 8/81$

4人の場合、確率 $p_4 = (1/3)^4 = 1/81$

1回目終了後、勝ち残った人数がn人のとき、2回目終了後の期待値は $n/3$。

3. 最終的な答え

ア/イ = 1/3

ウ = 1

エ/オ = 1/2

カ/キ = 1/2

ク/ケ = 1/3

コサ/3^シ = 1/9

ス = 1