太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人が先生とじゃんけんをする。じゃんけんのルールに従い、いくつかの確率や条件付き確率、期待値を求める問題です。

1. 問題の内容

太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人が先生とじゃんけんをする。じゃんけんのルールに従い、いくつかの確率や条件付き確率、期待値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率を求める。

先生の手に対して、太郎さんが勝つ手（例えば先生がグーなら太郎さんはパー）を出す必要があります。先生の手はグー、チョキ、パーの3通りなので、太郎さんが勝つ確率は $1/3$ です。

アの答えは $1/3$

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率を求める。

まず、4人の中から勝ち残る2人を選ぶ組み合わせは $_{4}C_{2} = 6$ 通りです。

選ばれた2人が勝ち、残りの2人が負ける確率を計算します。

勝つ確率は $1/3$、負ける確率は $2/3$ なので、

$_{4}C_{2} \times (1/3)^2 \times (2/3)^2 = 6 \times (1/9) \times (4/9) = 24/81 = 8/27$ となります。

ウの答えは $_{4}C_{2}$（選択肢1）です。

したがって、ちょうど2人の生徒が勝ち残る確率は $\frac{24}{81} = \frac{8}{27}$です。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率を求める。

ちょうど2人が勝ち残る場合は $_{4}C_{2} = 6$ 通りあります。

そのうち、太郎さんが勝ち残っているのは、太郎さんと他の3人のうちの1人が勝つ場合なので3通りです。（太郎さん & 花子さん、太郎さん & 次郎さん、太郎さん & 月子さん）。

したがって、条件付き確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$です。

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率を求める。

1回目に太郎さんが勝ち残る確率は $1/3$でした。太郎さんが1回目で負け、2回目で勝つ確率と、1回目で勝ち、2回目で勝つ確率を足します。

1回目に負ける確率は $2/3$です。

1回目に負けた場合、次に先生とじゃんけんをするのは4人なので、2回目に太郎さんが勝つ確率は $2/3 \times 1/3 = 2/9$となります。

1回目に勝った場合、2回目に太郎さんが勝つ確率は、$1/3 \times 1/3=1/9$となります。

すると、2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は、1回目で勝ち残った確率と、1回目で負けて2回目で勝ち残った確率を足し合わせて、$1/3 + (2/3) (1/3) = 1/3 + 2/9 = 5/9$

2回目のじゃんけんの後、次郎さんが勝ち残っていない確率を求める。

次郎さんが勝ち残っている確率は $5/9$なので、次郎さんが勝ち残っていない確率は $1 - 5/9 = 4/9$です。

同様に、2回目のじゃんけんの後、花子さんが勝ち残っている確率、月子さんが勝ち残っていない確率も$4/9$です。

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率を求める。

太郎さんと花子さんが勝ち残り、次郎さんと月子さんが負ける確率を求めます。

太郎さんと花子さんが勝ち残る確率はそれぞれ$1/3$なので、2人とも勝ち残る確率は$(1/3)^2=1/9$です。

次郎さんと月子さんが負ける確率はそれぞれ$4/9$なので、2人とも負ける確率は$(4/9)^2=16/81$です。

2人の生徒が残っているパターンを考えると、$(1/3)*(1/3)*(4/9)*(4/9)=16/729$となります。

上記は太郎さんと花子さんが勝ち残る確率ですが、2人が残る組み合わせは6通りあるので、それらを合計して$6*(1/3)*(1/3)*(2/3)*(2/3) = 24/81 = 8/27$となります。

2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値を求める。

勝ち残っている生徒数は0人、1人、2人、3人、4人の場合があります。それぞれの確率を計算し、期待値を計算します。

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率を求める。

同様に、3回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率を求める。

3. 最終的な答え

ア: 1/3

イ: 3

ウ: 1

エ: 1

オ: 2

カ: 5

キ: 9

ク: 4

ケ: 9

コサ: 16

シ: 729

セ:

ソタ:

チツテト: