太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをする。じゃんけんの結果から確率を計算し、条件付き確率や期待値を求める。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをする。じゃんけんの結果から確率を計算し、条件付き確率や期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率を求める。

先生の手に対して、太郎さんが勝つ手の出し方は1通り。先生の手の出し方は3通りあるので、太郎さんが勝つ確率は $\frac{1}{3}$。

他の3人も同様に$\frac{1}{3}$の確率で勝つ。

したがって、太郎さんが勝ち残る確率は $\frac{1}{3}$。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率を求める。

4人の中から2人を選ぶ組み合わせは ${}_4 C_2 = 6$ 通り。

2人が勝ち、残りの2人が負ける確率は、$(\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2$。

よって、確率は $6 \times (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率を求める。

太郎さんが勝ち残っている2人を選ぶ組み合わせは ${}_3 C_1 = 3$通り。

2人が勝ち残る組み合わせは${}_4 C_2 = 6$通りあるので、条件付き確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率を求める。

太郎さんが1回目に勝ち残り、2回目も勝ち残る必要がある。

1回目に太郎さんが勝ち残る確率は$\frac{1}{3}$。

1回目に太郎さんが勝ち残り、他の人が誰も勝ち残らない確率は$(\frac{1}{3}) (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{81}$

1回目に太郎さんが勝ち残り、1人だけが勝ち残る確率は${}_3 C_1 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 = 3 \times \frac{4}{81} = \frac{12}{81} = \frac{4}{27}$

1回目に太郎さんが勝ち残り、2人だけが勝ち残る確率は${}_3 C_2 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3}) = 3 \times \frac{2}{81} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}$

1回目に太郎さんが勝ち残り、3人とも勝ち残る確率は$(\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$

太郎さんが2回目に勝ち残る確率を考える。

1回目に太郎さんだけが勝ち残った場合、2回目は太郎さんが必ず勝ち残る。

1回目に太郎さんとAさんが勝ち残った場合、太郎さんが勝つ確率は$\frac{1}{3}$

1回目に太郎さん、Aさん、Bさんが勝ち残った場合、太郎さんが勝つ確率は$\frac{1}{3}$

1回目に太郎さん、Aさん、Bさん、Cさんが勝ち残った場合、太郎さんが勝つ確率は$\frac{1}{3}$

したがって、太郎さんが2回目に勝ち残る確率は $\frac{8}{81} + \frac{4}{27} \times \frac{1}{3} + \frac{2}{27} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{81} + \frac{12}{81} + \frac{6}{81} + \frac{1}{243} = \frac{26}{81}+\frac{1}{243} = \frac{78+1}{243} = \frac{79}{243}$

次郎さんが勝ち残っていない確率は $\frac{4}{9}$

花子さんが勝ち残っている確率は $\frac{1}{9}$

月子さんが勝ち残っていない確率は $\frac{8}{9}$

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は $\frac{16}{3^6} = \frac{16}{729}$

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は $\frac{7}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は $\frac{1}{3}$。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率は $\frac{8}{27}$。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率は $\frac{1}{2}$。

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は $\frac{79}{243}$。

次郎さんが勝ち残っていない確率は $\frac{4}{9}$。

花子さんが勝ち残っている確率は $\frac{1}{9}$。

月子さんが勝ち残っていない確率は $\frac{8}{9}$。

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は $\frac{16}{729}$。

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は $\frac{7}{27}$。