4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。生徒は先生に勝った場合のみ次のじゃんけんに参加できる。問題文中の設定に基づき、確率や期待値を求める問題です。今回は2回目のじゃんけんの後の状況について問われています。

1. 問題の内容

4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。生徒は先生に勝った場合のみ次のじゃんけんに参加できる。問題文中の設定に基づき、確率や期待値を求める問題です。今回は2回目のじゃんけんの後の状況について問われています。

2. 解き方の手順

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は $\frac{1}{9}$ である。

太郎さんが1回目に勝ち残る確率は $\frac{1}{3}$。

2回目も勝ち残る確率は $\frac{1}{3}$。よって $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。

次郎さんが勝ち残っていない確率は $\frac{8}{9}$ である。

次郎さんが1回目に負ける確率は $\frac{2}{3}$。

次郎さんが1回目に引き分け、2回目に負ける確率は $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$

次郎さんが勝ち残っていない確率は $\frac{2}{3} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9}$。

同様に、花子さんが勝ち残っている確率は $\frac{1}{9}$ である。月子さんが勝ち残っていない確率は $\frac{8}{9}$

これらの確率を利用すると、2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は $\frac{1}{3^2} \times \frac{1}{3^2} \times \frac{8}{9} \times \frac{8}{9} \times 3 \times 2 = \frac{16}{81}$ である。

太郎さんと花子さんだけが勝つためには、太郎さんと花子さんは1回目、2回目も勝ち続ける必要があります。

太郎さんの確率：$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

花子さんの確率：$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

太郎さんと花子さんが1回目と2回目に勝ち残ったので次郎さんと月子さんは必ず1回目には負けなければなりません。そして2回目に太郎さんと花子さんだけが勝ち残るので、1回目には負けていないといけません。

次郎さんの確率: $\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\times\frac{2}{3} = \frac{8}{9}$

月子さんの確率: $\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\times\frac{2}{3} = \frac{8}{9}$

最終的な確率: $\frac{1}{9} \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{9} \times \frac{8}{9} = \frac{64}{6561}$。

しかし、太郎さんと花子さんは区別しないといけないので$\frac{81}{64} * 2! = \frac{128}{6561}$

太郎さんと花子さんが1回目に同時に勝つ確率は$\frac{3!}{2! * 1! * 1!} = 6$なので

$\frac{64}{6561} \times 6 = \frac{16}{81}$

また、2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値は $\frac{4}{9} = 0.44$ 人。

勝ち残る生徒の期待値は

4人: $(\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$

3人: $4 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3}) = \frac{8}{81}$

2人: $6 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 = \frac{24}{81}$

1人: $4 (\frac{1}{3}) (\frac{2}{3})^3 = \frac{32}{81}$

0人: $(\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$

期待値: $4 * \frac{1}{81} + 3 * \frac{8}{81} + 2 * \frac{24}{81} + 1 * \frac{32}{81} + 0 * \frac{16}{81} = \frac{4 + 24 + 48 + 32}{81} = \frac{108}{81} = \frac{4}{3}$

1回目のじゃんけんの期待値は$\frac{4}{3}$

2回目のじゃんけんの期待値は$\frac{4}{3} * \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

太郎さんが勝ち残っている確率: 1/9

次郎さんが勝ち残っていない確率: 8/9

花子さんが勝ち残っている確率: 1/9

月子さんが勝ち残っていない確率: 8/9

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率: 16/81

勝ち残っている生徒の人数の期待値: 4/9