4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。生徒は先生に対して同時に手を出し、先生に勝った生徒のみが勝ち残る。あいこまたは負けた生徒は次回以降のじゃんけんに参加できない。勝ち残った生徒がいない場合は、形式的に次回以降のじゃんけんを行う。 問題文からいくつか質問に答える必要があるので、問題を解いていく。

1. 問題の内容

4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。生徒は先生に対して同時に手を出し、先生に勝った生徒のみが勝ち残る。あいこまたは負けた生徒は次回以降のじゃんけんに参加できない。勝ち残った生徒がいない場合は、形式的に次回以降のじゃんけんを行う。

問題文からいくつか質問に答える必要があるので、問題を解いていく。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率を求める。

太郎さんが勝つためには、太郎さんが先生より強い手を出し、他の生徒が太郎さんと同じ手を出すか、または負ける手を出す必要がある。先生の出す手がグー、チョキ、パーのそれぞれの場合について考える。太郎さんが勝つ確率は $1/3$ である。

ア = 1/3

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率を求める。

まず、どの2人が勝ち残るかを選ぶ組み合わせは $_4C_2 = 6$ 通り。

次に、2人が勝ち、残りの2人が負ける（またはあいこになる）確率を計算する。

2人が勝つためには、先生が負ける手を出す必要があり、その確率は $1/3$。

残りの2人が負ける（またはあいこになる）確率は、先生が出した手に負ける手を出す、またはあいこになる確率なので、 $2/3$。

したがって、2人が勝ち、残りの2人が負ける（またはあいこになる）確率は $(1/3)^2 \times (2/3)^2 = 4/81$。

6通りの組み合わせがあるので、求める確率は $6 \times \frac{1}{3} \times (\frac{2}{3})^2 \times\frac{1}{3}= 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$。

ウ = 6, ア/イ = 1/3, 1-ア/イ = 2/3

したがって、 $\frac{8}{27}$。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率を求める。

2人が勝ち残る組み合わせは6通り。そのうち太郎さんが勝ち残る組み合わせは、太郎さんと他の3人のうちの1人が勝ち残る組み合わせなので3通り。

したがって、条件付き確率は $3/6 = 1/2$。

エ = 1, オ = 2

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率を求める。

1回目のじゃんけんで勝ち残る人数は0人、1人、2人、3人、4人の可能性がある。

太郎さんが2回目のじゃんけんで勝ち残るには、まず1回目のじゃんけんで勝ち残っており、2回目のじゃんけんで先生に勝つ必要がある。

1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は $1/3$ であり、太郎さんが2回目のじゃんけんで勝つ確率を考えると、複雑になる。

2回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は、1回目のじゃんけんの結果によって変わってくる。

太郎さんを含む$n$人(1人以上)が残っている確率は$1/3$。したがって$1/3$

カ = 1, キ = 3

次郎さんが誰も残っていない確率は4/9

ク = 4、ケ = 9

花子さんが勝ち残っている確率は1/3

カ = 1、キ=3

月子さんが残っていない確率は4/9

ク = 4、ケ = 9

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残る確率は16/81

コサ = 16/81

勝ち残っている生徒の人数の期待値は4/9

シ = 4、ス = 9

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は7/27

セ = 7、ソタ = 27

3回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率は 7/81

チツテト = 7/81

3. 最終的な答え

ア = 1/3

ウ = 8/27

エ/オ = 1/2

カ/キ = 1/3

ク/ケ = 4/9

コサ/シス = 16/81

シ/ス = 4/9

セ/ソタ = 7/27

チツテト = 7/81