1m あたりの重さが 30g の針金があります。この針金 $x$ m の重さが $y$ g であるとき、$y$ を $x$ の式で表しなさい。

## 問題11

1. 問題の内容

1m あたりの重さが 30g の針金があります。この針金 $x$ m の重さが $y$ g であるとき、$y$ を $x$ の式で表しなさい。

2. 解き方の手順

1m あたりの重さが 30g なので、$x$ m の重さは $30x$ g です。

したがって、$y = 30x$ となります。

3. 最終的な答え

$y = 30x$

## 問題12

1. 問題の内容

$a$ 円の黒ペン 5 本と $b$ 円の赤ペン 2 本を買うと、代金は 1020 円になる。このときの数量の間の関係を、等式で表しなさい。

2. 解き方の手順

$a$ 円の黒ペン 5 本の代金は $5a$ 円、$b$ 円の赤ペン 2 本の代金は $2b$ 円です。

代金の合計が 1020 円なので、$5a + 2b = 1020$ となります。

3. 最終的な答え

$5a + 2b = 1020$

## 問題13

1. 問題の内容

$y$ が $x$ に反比例し、$x = -6$ のとき $y = 10$ である。$x = -3$ のときの $y$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

$y$ が $x$ に反比例するので、$y = \frac{k}{x}$ と表せます。

$x = -6$ のとき $y = 10$ なので、$10 = \frac{k}{-6}$ より $k = -60$ です。

したがって、$y = -\frac{60}{x}$ となります。

$x = -3$ のとき、$y = -\frac{60}{-3} = 20$ です。

3. 最終的な答え

$y = 20$

## 問題14

1. 問題の内容

$y$ は $x$ に反比例し、$x = -1$ のとき $y = -4$ である。このとき、この関係を表すグラフ上にある $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数となる点の個数を求めなさい。

2. 解き方の手順

$y$ が $x$ に反比例するので、$y = \frac{k}{x}$ と表せます。

$x = -1$ のとき $y = -4$ なので、$-4 = \frac{k}{-1}$ より $k = 4$ です。

したがって、$y = \frac{4}{x}$ となります。

$x$ と $y$ がともに整数となるのは、$x$ が 4 の約数（正と負）のときです。

4 の約数は 1, 2, 4 なので、$x$ は -4, -2, -1, 1, 2, 4 の 6 つの値をとります。

それぞれの $x$ に対応する $y$ の値は、$x = -4$ のとき $y = -1$、$x = -2$ のとき $y = -2$、$x = -1$ のとき $y = -4$、$x = 1$ のとき $y = 4$、$x = 2$ のとき $y = 2$、$x = 4$ のとき $y = 1$ となり、いずれも整数です。

3. 最終的な答え

6個

## 問題15

1. 問題の内容

$x$ の変域が $1 \le x \le 6$ のとき、2 つの関数 $y = \frac{12}{x}$ と $y = ax + b$ の $y$ の変域が一致する。このような定数 $a$, $b$ の値の組 $(a, b)$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$y = \frac{12}{x}$ において、$x$ が $1 \le x \le 6$ の範囲で変化するとき、$y$ は $2 \le y \le 12$ の範囲で変化します。

$x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x = 1$ のとき $y = 12$、$x = 6$ のとき $y = 2$ となります。

$y = ax + b$ において、

(i) $a > 0$ のとき、$x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x = 1$ のとき $y = 2$、$x = 6$ のとき $y = 12$ となります。

$2 = a + b$、$12 = 6a + b$

この連立方程式を解くと、$5a = 10$ より $a = 2$、$b = 0$

よって、$(a, b) = (2, 0)$

(ii) $a < 0$ のとき、$x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x = 1$ のとき $y = 12$、$x = 6$ のとき $y = 2$ となります。

$12 = a + b$、$2 = 6a + b$

この連立方程式を解くと、$-5a = 10$ より $a = -2$、$b = 14$

よって、$(a, b) = (-2, 14)$

3. 最終的な答え

$(a, b) = (2, 0), (-2, 14)$