さいころを1回または2回投げて、最後に出た目の数を得点とするゲームに関する問題です。まず、1回目にどの目が出ても2回目のさいころを投げる場合の、得点Xの確率分布と期待値を求めます。その後、1回目の出目に応じて2回目を投げるか否かの戦略を立てることを目指します。

1. 問題の内容

さいころを1回または2回投げて、最後に出た目の数を得点とするゲームに関する問題です。まず、1回目にどの目が出ても2回目のさいころを投げる場合の、得点Xの確率分布と期待値を求めます。その後、1回目の出目に応じて2回目を投げるか否かの戦略を立てることを目指します。

2. 解き方の手順

(ア) 1回目にどの目が出ても2回目を投げる場合、得点Xは2回目のさいころの出目となります。

したがって、$X = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ となる確率はすべて $1/6$ です。

(イ) 得点Xの期待値E(X)は、各得点とその確率の積の総和で計算されます。

$E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6}$

$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

(ウ),(エ) 1回目の出目を見て2回目を投げるかどうかを決めます。

1回目の出目が $x$ だったとします。

もし、$x$ が $3.5$ より小さければ2回目を投げる方が期待値が高くなります。

もし、$x$ が $3.5$ より大きければ1回目で終わる方が期待値が高くなります。

したがって、1回目に1,2,3の目が出たら2回目を投げて、1回目に4,5,6の目が出たら1回目でやめるのがよい。

3. 最終的な答え

ア：1/6

イ：3.5

ウ：1,2,3

エ：4,5,6