Aの袋にはコーヒー3本、りんごジュース2本が入っている。Bの袋にはりんごジュース2本、紅茶2本が入っている。Aの袋から3本を取り出しBの袋に入れた後、Bの袋から2本を取り出したとき、取り出した2本が同じ種類の飲料である確率を求める。

1. 問題の内容

Aの袋にはコーヒー3本、りんごジュース2本が入っている。Bの袋にはりんごジュース2本、紅茶2本が入っている。Aの袋から3本を取り出しBの袋に入れた後、Bの袋から2本を取り出したとき、取り出した2本が同じ種類の飲料である確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、Aの袋から3本取り出す組み合わせを考える。次に、それぞれの組み合わせでBの袋に入っている飲料の種類と本数を求め、Bの袋から2本取り出して同じ種類になる確率を計算する。最後に、それぞれの確率を足し合わせる。

場合分けは以下の通り：

(1) コーヒー3本: 確率は $\frac{\binom{3}{3}}{\binom{5}{3}} = \frac{1}{10}$。このとき、Bの袋はコーヒー3本、りんごジュース2本、紅茶2本となる。この袋から2本を取り出して同じ種類になる確率は $\frac{\binom{3}{2} + \binom{2}{2} + \binom{2}{2}}{\binom{7}{2}} = \frac{3 + 1 + 1}{21} = \frac{5}{21}$。

(2) コーヒー2本、りんごジュース1本: 確率は $\frac{\binom{3}{2} \binom{2}{1}}{\binom{5}{3}} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。このとき、Bの袋はコーヒー2本、りんごジュース3本、紅茶2本となる。この袋から2本を取り出して同じ種類になる確率は $\frac{\binom{2}{2} + \binom{3}{2} + \binom{2}{2}}{\binom{7}{2}} = \frac{1 + 3 + 1}{21} = \frac{5}{21}$。

(3) コーヒー1本、りんごジュース2本: 確率は $\frac{\binom{3}{1} \binom{2}{2}}{\binom{5}{3}} = \frac{3 \times 1}{10} = \frac{3}{10}$。このとき、Bの袋はコーヒー1本、りんごジュース4本、紅茶2本となる。この袋から2本を取り出して同じ種類になる確率は $\frac{\binom{1}{2} + \binom{4}{2} + \binom{2}{2}}{\binom{7}{2}} = \frac{0 + 6 + 1}{21} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$。

求める確率は、

$(\frac{1}{10} \times \frac{5}{21}) + (\frac{3}{5} \times \frac{5}{21}) + (\frac{3}{10} \times \frac{1}{3}) = \frac{5}{210} + \frac{15}{105} + \frac{3}{30} = \frac{1}{42} + \frac{2}{14} + \frac{1}{10} = \frac{1}{42} + \frac{6}{42} + \frac{21/2}{210} = \frac{3}{21} + \frac{1}{10} = \frac{1}{7} + \frac{1}{10} = \frac{10 + 7}{70} = \frac{17}{70}$

3. 最終的な答え

$\frac{17}{70}$