袋の中に赤玉が $x$ 個、白玉が $22-x$ 個入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が赤玉である確率が $\frac{1}{2}$ 以上となるような $x$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が $x$ 個、白玉が $22-x$ 個入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が赤玉である確率が $\frac{1}{2}$ 以上となるような $x$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

少なくとも1個が赤玉である確率は、1から2個とも白玉である確率を引いたものである。

2個とも白玉である確率を計算する。全事象は、22個から2個を取り出す組み合わせであるから $_{22}C_2$ 通り。2個とも白玉である組み合わせは $_{22-x}C_2$ 通り。

したがって、2個とも白玉である確率は $\frac{_{22-x}C_2}{_{22}C_2}$ である。

少なくとも1個が赤玉である確率は、

$1 - \frac{_{22-x}C_2}{_{22}C_2} \ge \frac{1}{2}$

$\frac{_{22-x}C_2}{_{22}C_2} \le \frac{1}{2}$

$_{22}C_2 = \frac{22 \times 21}{2} = 231$

$_{22-x}C_2 = \frac{(22-x)(21-x)}{2}$

$\frac{(22-x)(21-x)}{2 \times 231} \le \frac{1}{2}$

$(22-x)(21-x) \le 231$

$462 - 43x + x^2 \le 231$

$x^2 - 43x + 231 \le 0$

この2次不等式を解く。

$x = \frac{43 \pm \sqrt{43^2 - 4 \times 231}}{2} = \frac{43 \pm \sqrt{1849 - 924}}{2} = \frac{43 \pm \sqrt{925}}{2} = \frac{43 \pm 5\sqrt{37}}{2}$

$\sqrt{37} \approx 6.08$ より

$x \approx \frac{43 \pm 5 \times 6.08}{2} = \frac{43 \pm 30.4}{2}$

$x \approx \frac{73.4}{2}, \frac{12.6}{2} = 36.7, 6.3$

$x^2 - 43x + 231 = 0$ の解は $x \approx 6.3$ と $x \approx 36.7$ であり、$x$ の範囲は $6.3 \le x \le 36.7$ である。

ただし、$x$ は整数であり、$0 \le x \le 22$ であるから、$6.3 \le x \le 22$。

$x=7$ のとき、$(22-7)(21-7) = 15 \times 14 = 210 \le 231$

$x=6$ のとき、$(22-6)(21-6) = 16 \times 15 = 240 > 231$

したがって、xの最小値は7である。

3. 最終的な答え

7