男子3人、女子4人が1列に並ぶ場合の数について、以下の(1)～(5)の場合の数を求める問題です。 (1) 並べ方の総数 (2) 両端が男子である (3) 女子4人が続いて並ぶ (4) 男子、女子が交互に並ぶ (5) 男子が隣り合わない

1. 問題の内容

男子3人、女子4人が1列に並ぶ場合の数について、以下の(1)～(5)の場合の数を求める問題です。

(1) 並べ方の総数

(2) 両端が男子である

(3) 女子4人が続いて並ぶ

(4) 男子、女子が交互に並ぶ

(5) 男子が隣り合わない

2. 解き方の手順

(1) 並べ方の総数

7人全員を並べるので、$7!$を計算します。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(2) 両端が男子である

まず、両端に並べる男子の選び方は、3人の中から2人を選ぶ順列なので、$3P2$通りです。

残りの5人の並べ方は$5!$通りです。

したがって、$3P2 \times 5! = (3 \times 2) \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) = 6 \times 120 = 720$

(3) 女子4人が続いて並ぶ

女子4人を1つのグループとして考えます。このグループと男子3人の合計4つのものを並べるので、$4!$通りあります。

また、女子4人のグループ内での並び方は$4!$通りです。

したがって、$4! \times 4! = (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 24 \times 24 = 576$

(4) 男子、女子が交互に並ぶ

女子が4人、男子が3人なので、女子から並べ始めます。

女子を先に並べる方法は、$4!$通りです。

女子の間に男子を入れる方法は、$3!$通りです。

したがって、$4! \times 3! = (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) = 24 \times 6 = 144$

(5) 男子が隣り合わない

まず、女子4人を並べます。その並べ方は$4!$通りです。

女子の間の5箇所から男子3人を入れる場所を選び、男子を並べます。その並べ方は、$5P3$通りです。

したがって、$4! \times 5P3 = (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (5 \times 4 \times 3) = 24 \times 60 = 1440$

3. 最終的な答え

(1) 5040通り

(2) 720通り

(3) 576通り

(4) 144通り

(5) 1440通り