5人の生徒の小テストA, Bの得点が与えられており、AとBの得点の間に正の相関があるか、負の相関があるかを相関係数 $r$ を計算して調べる問題です。

1. 問題の内容

5人の生徒の小テストA, Bの得点が与えられており、AとBの得点の間に正の相関があるか、負の相関があるかを相関係数 $r$ を計算して調べる問題です。

2. 解き方の手順

相関係数 $r$ は、以下の式で計算されます。

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$

ここで、$S_{xy}$, $S_{xx}$, $S_{yy}$はそれぞれ以下の通りです。

$S_{xy} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}$

$S_{xx} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2$

$S_{yy} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 - n\bar{y}^2$

$n$はデータ数、$\bar{x}$, $\bar{y}$はそれぞれx, yの平均値です。

まず、各変数の平均値を計算します。

$\bar{x} = \frac{7+5+9+6+3}{5} = \frac{30}{5} = 6$

$\bar{y} = \frac{6+7+8+10+4}{5} = \frac{35}{5} = 7$

次に、$S_{xy}$, $S_{xx}$, $S_{yy}$を計算します。

$\sum x_i y_i = (7 \times 6) + (5 \times 7) + (9 \times 8) + (6 \times 10) + (3 \times 4) = 42 + 35 + 72 + 60 + 12 = 221$

$S_{xy} = 221 - 5 \times 6 \times 7 = 221 - 210 = 11$

$\sum x_i^2 = 7^2 + 5^2 + 9^2 + 6^2 + 3^2 = 49 + 25 + 81 + 36 + 9 = 200$

$S_{xx} = 200 - 5 \times 6^2 = 200 - 5 \times 36 = 200 - 180 = 20$

$\sum y_i^2 = 6^2 + 7^2 + 8^2 + 10^2 + 4^2 = 36 + 49 + 64 + 100 + 16 = 265$

$S_{yy} = 265 - 5 \times 7^2 = 265 - 5 \times 49 = 265 - 245 = 20$

相関係数 $r$ を計算します。

$r = \frac{11}{\sqrt{20 \times 20}} = \frac{11}{20} = 0.55$

3. 最終的な答え

相関係数 $r = 0.55$

相関係数が正の値であるため、AとBの得点の間に正の相関があります。