大人5人と子供10人の中から5人を選ぶとき、以下の2つの場合の選び方の数を求めます。 (1) すべての選び方 (2) 大人2人、子供3人を選ぶ選び方

1. 問題の内容

大人5人と子供10人の中から5人を選ぶとき、以下の2つの場合の選び方の数を求めます。

(1) すべての選び方

(2) 大人2人、子供3人を選ぶ選び方

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

15人の中から5人を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは $_{15}C_5$ で表されます。

$_{15}C_5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

$= \frac{360360}{120} = 3003$

(2) 大人2人、子供3人を選ぶ選び方

大人5人の中から2人を選ぶ組み合わせの数は $_{5}C_2$ で表されます。

子供10人の中から3人を選ぶ組み合わせの数は $_{10}C_3$ で表されます。

それぞれの組み合わせの数を計算し、掛け合わせることで、大人2人、子供3人を選ぶ選び方の総数を求めます。

$_{5}C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

したがって、大人2人、子供3人を選ぶ選び方の総数は、$10 \times 120 = 1200$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) すべての選び方は 3003 通り

(2) 大人2人、子供3人を選ぶ選び方は 1200 通り