与えられた問題は、以下の5つの問題群から構成されています。 * **問題1**: 0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字から3個を選んで3桁の自然数を作る問題です。可能な数の総数と、可能な偶数の総数を求めます。 * **問題2**: 男子2人(a, b)と女子4人(A, B, C, D)が1列に並ぶ問題です。両端が男子になる並び方と、aとAが隣り合う並び方を求めます。 * **問題3**: 父、母、子供3人の5人家族が丸いテーブルの周りに座る問題です。可能な並び方の総数と、両親が隣り合う並び方を求めます。 * **問題4**: 男子5人、女子5人の中から4人の委員を選ぶ問題です。可能な選び方の総数、男子2人と女子2人を選ぶ選び方、男子から少なくとも1人を選ぶ選び方を求めます。 * **問題5**: 生徒をグループに分ける問題です。6人の生徒を3人ずつの2組に分ける分け方と、10人の生徒を5人ずつの2組に分ける際に特定の2人が同じ組にならない分け方を求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の5つの問題群から構成されています。

* **問題1**: 0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字から3個を選んで3桁の自然数を作る問題です。可能な数の総数と、可能な偶数の総数を求めます。

* **問題2**: 男子2人(a, b)と女子4人(A, B, C, D)が1列に並ぶ問題です。両端が男子になる並び方と、aとAが隣り合う並び方を求めます。

* **問題3**: 父、母、子供3人の5人家族が丸いテーブルの周りに座る問題です。可能な並び方の総数と、両親が隣り合う並び方を求めます。

* **問題4**: 男子5人、女子5人の中から4人の委員を選ぶ問題です。可能な選び方の総数、男子2人と女子2人を選ぶ選び方、男子から少なくとも1人を選ぶ選び方を求めます。

* **問題5**: 生徒をグループに分ける問題です。6人の生徒を3人ずつの2組に分ける分け方と、10人の生徒を5人ずつの2組に分ける際に特定の2人が同じ組にならない分け方を求めます。

2. 解き方の手順

* **問題1**

* (1) 3桁の自然数を作る場合、百の位は0以外の5つの数字から選ぶことができます。十の位は残りの5つの数字から、一の位は残りの4つの数字から選ぶことができます。したがって、可能な数の総数は $5 \times 5 \times 4 = 100$通りです。

* (2) 偶数を作る場合、一の位は0, 2, 4のいずれかでなければなりません。

* 一の位が0の場合、百の位は残りの5つの数字から、十の位は残りの4つの数字から選ぶことができます。この場合、$5 \times 4 = 20$通りです。

* 一の位が2または4の場合、百の位は0と一の位に使った数字以外の4つの数字から選びます。十の位は残りの4つの数字から選びます。この場合、$2 \times 4 \times 4 = 32$通りです。

したがって、可能な偶数の総数は $20 + 32 = 52$通りです。

* **問題2**

* (3) 両端が男子になる場合、両端の選び方は $2 \times 1 = 2$通りです。残りの4人の並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通りです。したがって、両端が男子になる並び方は $2 \times 24 = 48$通りです。

* (4) aとAが隣り合う場合、aとAをひとまとめにして考えます。aAとAaの2通りがあります。これと残りの4人(b, B, C, D)の合計5つのものを並べる方法は $5! = 120$通りです。aAとAaの並び方は2通りなので、全体で $2 \times 120 = 240$通りです。

* **問題3**

* (5) 5人が円卓に座る並び方は、$(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通りです。

* (6) 両親が隣り合う場合、両親をひとまとめにして考えます。両親の並び方は2通りです。両親のペアと子供3人の合計4つのものを円卓に並べる方法は $(4-1)! = 3! = 6$通りです。したがって、両親が隣り合う並び方は $2 \times 6 = 12$通りです。

* **問題4**

* (7) 10人の中から4人を選ぶ選び方は ${10 \choose 4} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$通りです。

* (8) 男子5人から2人、女子5人から2人を選ぶ選び方は ${5 \choose 2} \times {5 \choose 2} = \frac{5!}{2!3!} \times \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \times 10 = 100$通りです。

* (9) 男子から少なくとも1人を選ぶ選び方は、全体から男子を1人も選ばない場合を引けば良いです。全体は ${10 \choose 4} = 210$通りです。男子を1人も選ばない場合は、女子5人から4人を選ぶので、${5 \choose 4} = 5$通りです。したがって、男子から少なくとも1人を選ぶ選び方は $210 - 5 = 205$通りです。

* **問題5**

* (10) 6人の生徒を3人ずつの2組に分ける分け方は、${6 \choose 3}$で計算し、組の区別がないので2!で割る必要があります。 $\frac{{6 \choose 3}}{2!} = \frac{6!/(3!3!)}{2} = \frac{(6 \times 5 \times 4)/(3 \times 2 \times 1)}{2} = \frac{20}{2} = 10$通りです。

* (11) 10人の生徒を5人ずつの2組に分けるとき、特定の2人が同じ組にならないようにする。まず、特定の2人をそれぞれ別の組に入れる。残りの8人から、特定の1人の組に入れる3人を選ぶ。これでそれぞれの組が5人になる。この選び方は ${8 \choose 3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 100通り

(2) 52通り

(3) 48通り

(4) 240通り

(5) 24通り

(6) 12通り

(7) 210通り

(8) 100通り

(9) 205通り

(10) 10通り

(11) 56通り