(1) 媒介変数 $t$ で表される $x=1+\sqrt{t}$、$y=2-t$ で表される図形が放物線の一部であることを示し、その放物線の式と $x$ の範囲を求める。 (2) 媒介変数 $\theta$ で表される $x=3\cos\theta - 4$、$y=2\sin\theta + 2$ で表される図形が楕円であることを示し、その方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 媒介変数 $t$ で表される $x=1+\sqrt{t}$、$y=2-t$ で表される図形が放物線の一部であることを示し、その放物線の式と $x$ の範囲を求める。

(2) 媒介変数 $\theta$ で表される $x=3\cos\theta - 4$、$y=2\sin\theta + 2$ で表される図形が楕円であることを示し、その方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x=1+\sqrt{t}$ から $\sqrt{t} = x-1$ を得る。

$t \ge 0$ より、$x-1 \ge 0$ なので、$x \ge 1$ である。

両辺を2乗して、$t = (x-1)^2$ を得る。

次に、$y=2-t$ に $t = (x-1)^2$ を代入する。

$y = 2 - (x-1)^2 = 2 - (x^2 - 2x + 1) = 2 - x^2 + 2x - 1 = -x^2 + 2x + 1$

よって、$y = -x^2 + 2x + 1$ であり、$x \ge 1$ である。

(2)

$x = 3\cos\theta - 4$ より、$\cos\theta = \frac{x+4}{3}$

$y = 2\sin\theta + 2$ より、$\sin\theta = \frac{y-2}{2}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に代入する。

$(\frac{x+4}{3})^2 + (\frac{y-2}{2})^2 = 1$

$\frac{(x+4)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{4} = 1$

3. 最終的な答え

(1)

ア: -1

イ: 2

ウ: 1

エ: 1

(2)

オ: 4

キ: 2

カ: 9

ク: 4