$x = \frac{1}{\sqrt{5}-1}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5}+1}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-1}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5}+1}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の分母を有理化する。

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-1} = \frac{1}{\sqrt{5}-1} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}+1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}+1} = \frac{1}{\sqrt{5}+1} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

次に、$x^2$ と $y^2$ を計算する。

$x^2 = \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{16} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{16} = \frac{3 + \sqrt{5}}{8}$

$y^2 = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{3 - \sqrt{5}}{8}$

最後に、$x^2 + y^2$ を計算する。

$x^2 + y^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{8} + \frac{3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$